Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，.

（1）直接寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)解析式及的取值范圍：_______；

（2）當(dāng)時(shí)，求的值；

（3）連接交于點(diǎn)，若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，問(wèn)的值是否變化？若不變化，請(qǐng)求出的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的值不變.值為.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，依題意求得P、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求得PE、EQ的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求得答案，由時(shí)間＝距離速度可求得t的取值范圍；

（2）當(dāng)，即時(shí)，代入（1）求得的函數(shù)中，解方程即可求得答案；

（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求得OB的長(zhǎng)，由，可求得，繼而求得OD的長(zhǎng)，利用三角函數(shù)即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征即可求得值.

（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，如圖1：

∵點(diǎn)B、C縱坐標(biāo)相同，

∴BC⊥y軸，

∴四邊形OPEC為矩形，

∵運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，

∴，

在中，，，，

∴，

即，

點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最多為：(秒) ，

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最多為：(秒) ，

∴關(guān)于的函數(shù)解析式及的取值范圍為：；

（2）當(dāng)時(shí)，

整理，得，

解得：，.

（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的值不變.

連接，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖2所示.

∵，，

∴.

∵，

∴，

∴，

∴.

∵，

∴.

在中，，，

∴，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的值為.