Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），以點(diǎn)A為圓心的圓交x軸于O、B兩點(diǎn)，直線y=x-3交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，過A、C、D三點(diǎn)作一條拋物線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷直線CD與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若點(diǎn)M以每秒4個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)B沿x軸向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)C沿直線y=x-3向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t≤4），試問t為何值時(shí)△CMN與△CDB相似；
（4）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△APC的面積是△BCD面積的倍？若存在，請(qǐng)求出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線CD的解析式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式解答；
（2）過圓心A作AE⊥CD于點(diǎn)E，利用勾股定理求出CD的長度，再根據(jù)∠DCO的正弦值求出AE的長度，與⊙A的半徑相比較，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得出CD和⊙A的位置關(guān)系；
（3）根據(jù)圓的對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求出BC的長度，然后用t表示出CM、CN，再分①CM與CB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解；②CM與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解（注意求出的t值要在t的取值范圍內(nèi)）；
（4）首先求出△BCD的面積，通過三角形的面積公式，易求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后分①點(diǎn)P在x軸下方，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，代入拋物線的解析式進(jìn)行計(jì)算求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從而得解，②點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是正數(shù)，代入拋物線的解析式進(jìn)行計(jì)算求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從而得解．
解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x-3=0，解得x=4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
所以，點(diǎn)C（4，0），D（0，-3），
設(shè)過A、C、D三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則，
解得，
所以，拋物線解析式為y=x²+x-3；

（2）如圖，過圓心A作AE⊥CD于點(diǎn)E，
∵C（4，0），D（0，-3），
∴CD==5，
∵A（-6，0），
∴AC=4-（-6）=10，
sin∠DCO==，
即=，
解得AE=6，
∵⊙A的圓心為（-6，0）且經(jīng)過點(diǎn)O，
∴⊙A的半徑為6，
∴直線CD與⊙A相切；

（3）根據(jù)圓的對(duì)稱性，圓心為A（-6，0）的⊙A經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）與B，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-12，0），
∴CB=4-（-12）=4+12=16，
根據(jù)題意，CM=CB-4t=16-4t，
CN=t，
①CM與CB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△CMN∽△CBD，
∴=，
即=，
解得t=秒；
②CM與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△CMN∽△CDB，
∴=，
即=，
解得t=秒；
∵與都小于4，
∴t=或秒時(shí)，△CMN與△CDB相似；

（4）存在．理由如下：
∵BC=16，點(diǎn)D到BC的距離為3，
∴S_△BCD=×16×3=24，
設(shè)點(diǎn)P到AC的距離為h，∵AC=10（已求），
∴×10h=×24，
解得h=3，
①點(diǎn)P在x軸下方，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是-3，
所以，x²+x-3=-3，
整理得，x²+2x=0，
解得x₁=0，x₂=-2，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-3）或（-2，-3），
②點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是3，
所以，x²+x-3=3，
整理得，x²+2x-48=0，
解得x₁=-8，x₂=6，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-8，3）或（6，3），
綜上所述，存在點(diǎn)P（0，-3）或（-2，-3）或（-8，3）或（6，3），使△APC的面積是△BCD面積的倍．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的判定，以及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（3）題要注意根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的不同分兩兩種情況討論，（4）要分點(diǎn)P在x軸下方與上方兩種情況討論，本題難度不是很大，但運(yùn)算較為復(fù)雜，希望同學(xué)們計(jì)算時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)．