Question

如圖，CD是⊙O的直徑，BD是弦，延長DC到A，使∠ABD=120°，若添加一個(gè)條件，使AB是⊙O的切線，則下列四個(gè)條件：①AC=BC；②AC=OC；③OC=BC；④AB=BD中，能使命題成立的有________（只要填序號(hào)即可）．

Answer 1

①②③④
分析：經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，分析每種情況后，能得到經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑的直線就是圓的切線．
解答：解：連接圓心和B點(diǎn)，OC=OB
①∵AC=BC，
∴∠BCO=∠CBO=2∠A，
∵∠ABC=∠BDC，
∴∠ABO=90°，
∴①正確；
②證明：過A做圓的切線AB'切圓于B'，
連接OB'，
所以O(shè)B'⊥AB'，又CA=CO 所以B'C是直角△OB'A斜邊上的中線，
∴B'C=OC=CA=OB'，所以∠OCB'=60°，又B'C=CA，所以∠CB'A=30°，
所以∠AB'D=∠CB'A+∠DB'C=120°，
已知在圓上能使∠AB'D=120°的點(diǎn)只有一個(gè)，所以B'點(diǎn)就是B點(diǎn)
故AB是圓的切線；
∵AC=OC，
∴AC=OB，
∴∠ABO=90°，
故②正確；
③∵OC=BC，
∴△OBC=60°，
∵∠BCO=∠CBO=2∠A，
∴∠ABO=90°，
∴③正確；
④∵AB=BD，
∴∠A=∠D=∠OBD，
∵∠CBD=90°
∴∠ABO=90°，
∴④正確．
故答案為：①②③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，解題的關(guān)鍵是正確的證明經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線．