Question

（2013•三明）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，拋物線y=ax²-10ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，頂點(diǎn)M在直線BC上．
（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的對(duì)稱軸和函數(shù)表達(dá)式；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，勾股定理，翻折的性質(zhì)可得AB=BD=CD=AC，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)對(duì)稱軸公式可得拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法可求M的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）分點(diǎn)P在CD的上面和點(diǎn)P在CD的下面兩種情況，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：∵A（-6，0），B（4，0），C（0，8），
∴AB=6+4=10，AC=

62+82

=10，
∴AB=AC，
由翻折可得，AB=BD，AC=CD，
∴AB=BD=CD=AC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，
∵C（0，8），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（10，8）；

（2）∵y=ax²-10ax+c，
∴對(duì)稱軸為直線x=-

-10a

2a

=5．
設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，
∴

0=4k+b 8=b

，
解得

k=-2 b=8

．
∴y=-2x+8．
∵點(diǎn)M在直線y=-2x+8上，
∴n=-2×5+8=-2．
又∵拋物線y=ax²-10ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和M，
∴

c=8 25a-50a+c=-2

，
解得

a= 2 5 c=8

．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=

2

5

x²-4x+8；

（3）存在．
△PBD與△PCD的面積相等，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（

5

4

，

29

8

），P₂（-5，38）．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：兩點(diǎn)之間的距離公式，勾股定理，翻折的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，對(duì)稱軸公式，待定系數(shù)法的運(yùn)用，等底等高的三角形面積相等，分類思想的運(yùn)用．