Question

我們知道三角形的一條中線能將這個三角形分成面積相等的兩個三角形，反之，若經(jīng)過三角形的一個頂點引一條直線將這個三角形分成面積相等兩個三角形，那么這條直線平分三角形的這個頂點的對邊．如圖1，若S_△ABD=S_△ADC，則BD=CD成立．
請你直接應(yīng)用上述結(jié)論解決以下問題：

（1）已知：如圖2，AD是△ABC的中線，沿AD翻折△ADC，使點C落在點E，DE交AB于F，若△ADE與△ADB重疊部分面積等于△ABC面積的

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4

，問線段AE與線段BD有什么關(guān)系？在圖中按要求畫出圖形，并說明理由．
（2）已知：如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4，點D是AB邊的中點，點P是BC邊上的任意一點，連接PD，沿PD翻折△ADP，使點A落在E，若△PDE與△PDB重疊部分的面積等于△ABP面積的

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4

，直接寫出BP²的值．

Answer 1

分析：（1）如圖2，線段AE與BD平行且相等；利用上述結(jié)論易證得AF=BF，DF=EF；然后通過△AFE≌△BFD（SAS），來證AE=BD，且AE∥BD；
（2）如圖3，BP²=4或12．

解答：（1）解：如圖2，線段AE與BD平行且相等．理由如下：
∵AD是△ABC的中線，
∴S_△ABD=S_△ADC=

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2

S_△ABC．
∵S_△ADF=

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4

S_△ABC，
∴S_△ADF=S_△BDF=

1

2

S_△ABD，
∴AF=BF．
同理，DF=EF．
在△AFE與△BFD中，

BF=DF ∠EFA=∠DFB AF=BF

，
∴△AFE≌△BFD（SAS），
∴AE=BD，∠EAF=∠DBF，
∴AE∥BD．
∴線段AE與BD平行且相等；

（2）BP²=4或12．

點評：本題考查了三角形的面積、全等三角形的判定與性質(zhì)以及翻折變換．折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．