Question

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜邊AB 所在直線為x軸,以斜邊AB上的高所在直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,若OA²+OB²= 17, 且線段OA、OB的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+2(m-3)=0的兩個(gè)根.

 (1)求C點(diǎn)的坐標(biāo);

 (2)以斜邊AB為直徑作圓與y軸交于另一點(diǎn)E,求過(guò)A、B、E 三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式,并畫出此拋物線的草圖.

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△ABP與△ABC全等?若存在,求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) C(0,2) (2) y=(3) 存在，(0,-2)和(3,-2)

【解析】本題是二次函數(shù)與圓以及全等三角形相結(jié)合的題目，難度較大

（1）線段OA、OB的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的兩個(gè)根．根據(jù)韋達(dá)定理就可以得到關(guān)于OA，OB的兩個(gè)式子，再已知OA²+OB²=17，就可以得到一個(gè)關(guān)于m的方程，從而求出m的值．求出OA，OB．根據(jù)OC²=OA•OB就可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）由第一問(wèn)很容易求出A，B的坐標(biāo)．連接AB的中點(diǎn)，設(shè)是M，與E，在直角△OME中，根據(jù)勾股定理就可以求出OE的長(zhǎng)，得到E點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；

（3）E點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)．同時(shí)C，E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)也是滿足條件的點(diǎn)．

解：(1)線段OA,OB的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+2(m-3)=0 的兩個(gè)根,

    ∴

又∵OA²+OB²=17,∴(OA+OB)²-2·OA·OB=17.③

把①,②代入③,得m²-4(m-3) =17,∴m²-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.

又知OA+OB=m>0,∴m=-1應(yīng)舍去.

    ∴當(dāng)m=5時(shí),得方程:x²-5x+4=0,解之,得x=1或x=4.

    ∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,

∴OC²=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)

    (2)∵OA=1,OB=4,C,E兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,

    ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).

    設(shè)經(jīng)過(guò)A,B,E三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式為

    y=ax²+bx+c,則 ,解之,得

    ∴所求拋物線關(guān)系式為y=.

    (3)存在.∵點(diǎn)E是拋物線與圓的交點(diǎn).

    ∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合條件.

    ∵圓心的坐標(biāo)(,0 )在拋物線的對(duì)稱軸上.

    ∴這個(gè)圓和這條拋物線均關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱.

    ∴點(diǎn)E關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E′也符合題意.

    ∴可求得E′(3,-2).

    ∴拋物線上存在點(diǎn)P符合題意,它們的坐標(biāo)是(0,-2)和(3,-2)