Question

（2012•犍為縣模擬）如圖，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于點(diǎn)D，求證：BC²=2AC•CD．
（要求用三種方法解題）

Answer 1

【答案】分析：通過不同的添加輔助線的方法運(yùn)用相似三角形的判定方法判定其相似，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，從而便可得到結(jié)論．
解答：證明：如圖一：
延長CA到E，CA=AE，連接BE，
則有∵AB=AC，∴AB=CE．
∴△CBE是直角三角形．
∴∠CBE是直角，（一邊上的中線等于這一邊長的一半的三角形是直角三角形）．
∴∠C=∠C，∠BDC=∠EBC=90°，
∴△BCD∽△ECB．
∴BC²=EC•CD=2AC•CD．

如圖二：
作AE⊥BC于E，
∴∠C=∠C，∠AEC=∠BDC=90°，
則有△ACE∽△BCD．
得．
即CE•BC=CD•AC．
從而得：BC²=2AC•CD．

如圖三：
在DA上截取DE=DC，連接BE，
則有△BCE∽△ACB．
得．
從而BC²=2AC•CD．
點(diǎn)評：此題主要考查輔助線的添加及相似三角形的判定方法的運(yùn)用．綜合性比較強(qiáng)，對學(xué)生分析問題的能力要求比較高．