Question

【題目】如圖所示，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當動點P落在某個部分時，連接PA、PB，構成∠PAC、∠APB、∠PBD三個角（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°）．

（1）當動點P落在第①部分時，求證：∠APB＝∠PAC＋∠PBD．

（2）當動點P落在第②部分時，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）；

（3）當動點P在第③部分時，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關系，并寫出動點P的具體位置和相應的結論．選擇其中一種結論加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不成立；（3）證明見解析

【解析】

（1）如圖，延長BP交直線AC于點E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）過點P作AC的平行線，根據平行線的性質解答；

（3）根據P的不同位置，分①當動點P在射線BA的右側時，②當動點P在射線BA上時，③當動點P在射線BA的左側時，三種情況討論．

解：（1）如圖所示．延長BP交直線AC于點E．

因為AC∥BD，所以∠PEA＝∠PBD．

因為∠APB＝∠PAE+∠PEA，所以∠APB＝∠PAC+∠PBD．

（2）不成立． 　

過P作PM∥AC，

∵AC∥BD，

∴AC∥PM∥BD，

∴∠PAC+∠APM=180°，∠PBD+∠BPM=180°，

∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，而不能推出∠APB=∠PAC+∠PBD；

故不成立；

（3）①當動點P在射線BA的右側時，結論是∠PBD=∠PAC+∠APB．

②當動點P在射線BA上時，結論是∠PBD＝∠PAC+∠APB，或∠PAC＝∠PBD+∠APB或∠APB＝0°，∠PAC=∠PBD（任寫一個即可）．

③當動點P在射線BA的左側時，結論是∠PAC=∠APB+∠PBD

選擇①證明：

如圖1所示，連接PA，連接PB交AC于點M．

因為AC∥BD，所以∠PMC＝∠PBD．

又因為∠PMC＝∠PAM十∠APM，所以∠PBD＝∠PAC+∠APB．

選擇②證明：如圖2所示．因為點P在射線BA上，所以∠APB＝0°．

因為AC∥BD，所以∠PBD＝∠PAC．

所以∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB＝0°，∠PAC=∠PBD．

選擇③證明：如答圖3所示，連接PA，連接PB交AC于點F．

因為AC∥BD，所以∠PFA＝∠PBD．

因為∠PAC＝∠APF+∠PFA，所以∠PAC＝∠APF+∠PBD；

所以∠PAC=∠APB+∠PBD．