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【題目】(問題探究)小敏在學習了RtABC的性質定理后,繼續(xù)進行研究.

1)(i)她發(fā)現圖①中,如果∠A30°,BCAB存在特殊的數量關系是   ;

ii)她將△ABC沿AC所在的直線翻折得△AHC,如圖②,此時她證明了BCAB的關系;請根據小敏證明的思路,補全探究的證明過程;

猜想:如果∠A30°BCAB存在特殊的數量關系是   ;

證明:△ABC沿AC所在的直線翻折得△AHC

2)如圖③,點E、F分別在四邊形ABCD的邊BCCD上,且∠B=∠D90°,連接AE、AFEF,將△ABE、△ADF折疊,折疊后的圖形恰好能拼成與△AEF完全重合的三角形,連接AC,若∠EAF30°,AB227,則△CEF的周長為   

【答案】1)(iBCAB;(iiBCAB;(26

【解析】

1)(i)在AB上截取BDBC,可證△BCD是等邊三角形,CDBD,∠BDC=∠BCD60°,可得BDADCDBC,可得結論;

ii)由折疊的性質可得ABAH,∠BAC=∠HAC30°,BCCH,可證△ABH是等邊三角形,可得ABBH2BC

2)由折疊的性質可得ABAD,BE+DFEF,∠BAD2EAF60°,由HL可證RtABCRtADC,可得∠BAC=∠DAC30°,BCCD,由直角三角形的性質可求BC3,即可求解.

解:(1)(iBCAB,

理由如下:在AB上截取BDBC,

∵∠A30°,∠ACB90°

∴∠B60°,且BDBC

∴△BCD是等邊三角形,

CDBD,∠BDC=∠BCD60°,

∴∠ACD30°=∠A,

ADCD,

BDADBC

BCAB;

ii)∵將△ABC沿AC所在的直線翻折得△AHC

∴△ABC≌△AHC,

ABAH,∠BAC=∠HAC30°BCCH,

∴∠BAH60°,且ABAH,

∴△ABH是等邊三角形,

ABBH,

BCBHAB

2)∵將△ABE、△ADF折疊,折疊后的圖形恰好能拼成與△AEF完全重合的三角形,

ABAD,BE+DFEF,∠BAD2EAF60°,

ABAD,ACAC,

RtABCRtADCHL),

∴∠BAC=∠DAC30°,BCCD,

AB227,

AB3,

tanBAC,

BC3CD

∴△CEF的周長=EC+CF+EFEC+CF+BE+DFBC+CD6

故答案為:6

練習冊系列答案
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類比猜想:①如圖2,當動點D運動至等邊△ABCBA的延長線上時,其它作法與圖1相同,猜想AFBD在圖1中的結論是否仍然成立。

深入探究:②如圖3,當動點D在等邊△ABCBA上的一動點(D與點B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′,連接AF,BF′你能發(fā)現AF,BF′AB有何數量關系,并證明你發(fā)現的結論。

③如圖4,當動點D運動至等邊△ABCBA的延長線上時,其它作法與圖3相同,猜想AFBF′AB在上題②中的結論是否仍然成立,若不成立,請給出你的結論并證明。

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