Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸l對(duì)稱，過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的△CNM是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，

得

解得： ，

∴y=﹣x2+4x

（2）

解：∵拋物線y=﹣x2+4x的對(duì)稱軸為x=2，

又點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3）．

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的△CNM是等腰直角三角形．

①當(dāng)M在x軸上方時(shí)，如圖1

，

∵∠CMB+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，

∴∠CMB=∠MNH．

在△CBM和△MHN中

，

△CBM≌△MHN（AAS），

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0）．

②M在x軸下方時(shí)，如圖2

，

∵∠CMB+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，

∴∠CMB=∠MNH．

在△CBM和△MHN中

，

△CBM≌△MHN（AAS），

∴HM=CB=2，HN=MB=2+3=5，

∴M（1，﹣2），N（﹣4，0）．

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)M（1，2），N（2，0）或M（1，﹣2），N（﹣4，0）使得以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的△CNM是等腰直角三角形

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得MH，HN的值，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得答案．