Question

【題目】點(diǎn)P是矩形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合），分別過點(diǎn)A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，請你判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到如圖2所示位置時，請你在圖2中補(bǔ)全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立；

（3）若點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動，恰好使得∠OEF＝30°時，猜想此時線段CF，AE，OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論不必證明．

Answer 1

【答案】（1）OE＝OF．理由見解析；（2）補(bǔ)全圖形如圖所示見解析，OE＝OF仍然成立；（3）CF＝OE+AE或CF＝OE﹣AE．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂線，即可判定，得出OE=OF；

（2）先延長EO交CF于點(diǎn)G，通過判定，得出OG=OE，再根據(jù)中，，即可得到OE=OF；

（3）根據(jù)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動，需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長線上時，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可．

（1）OE=OF．理由如下：

如圖1．

∵四邊形ABCD是矩形，∴ OA=OC．

∵，，∴．

∵在和中，，∴，∴ OE=OF；

（2）補(bǔ)全圖形如圖2，OE=OF仍然成立．證明如下：

延長EO交CF于點(diǎn)G．

∵，，∴ AE//CF，∴．

又∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴ AO=CO．

在和中，，∴，∴ OG=OE，∴中，，∴ OE=OF；

（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE．

證明如下：①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時．

∵，，∴，由（2）可得：OF=OG，∴是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，由（2）可得：，∴ CG=AE．

又∵ CF=GF+CG，∴ CF=OE+AE；

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長線上時．

∵，，∴，同理可得：是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，同理可得：，∴ CG=AE．

又∵ CF=GF-CG，∴ CF=OE-AE．