Question

在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E為AB邊上一點，∠BCE=15°，且AE=AD．連接DE交對角線AC于H，連接BH．

（1）求證：AC⊥ED

（2）求證：△ACD≌△ACE

（3）請猜測CD與DH的數(shù)量關系，并證明

Answer 1

證（1）

：∵∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠BAC=45°，

∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，

∴∠BAC=∠CAD，

∴AH⊥ED，

即AC⊥ED---------------2分

(2)

∵∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠BAC=45°，

∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，

∴∠BAC=∠CAD，--------------3分

在△ACD和△ACE中，

，

∴△ACD≌△ACE（SAS），-------------5分

  （3）  CD=2DH------------6分

∵ △ACD≌△ACE

∴CD=CE，

∵∠BCE=15°，

∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°，

∴∠CED=180°﹣∠BEC﹣∠AED=180°﹣75°﹣45°=60°，

∴△CDE為等邊三角形，

∴∠DCH=30°，-------------8分

∴CD=2DH，-------------10分