Question

如圖，已知拋物線y=-3x²-（2c-b）x+a²，其中a、b、c是一個直角三角形的三邊的長，且a＜b＜c，又知這個三角形兩銳角的正弦值分別是方程25x²-35x+12=0的兩個根．
（1）求a：b：c；
（2）設(shè)這條拋物線與x軸的左、右交點(diǎn)分別是M、N，與y軸的交點(diǎn)為T，頂點(diǎn)為P，求△MPT的面積（用只含a的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，如果△MPT的面積為9，問拋物線上是否存在異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q，使得△QMT的面積與△MPT的面積相等？如果存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，如果不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可判斷c為斜邊，解方程得x₁=

3

5

，x₂=

4

5

，即

a

c

=

3

5

，

b

c

=

4

5

，可求a：b：c；
（2）過P點(diǎn)作PQ⊥x軸，垂足為Q，用a表示P、M、T三點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)S_△MPT=S_△PMQ+S_梯形PQOT-S_△TMO求面積；
（3）存在．根據(jù)已知面積求a的值，確定拋物線解析式及M、T兩點(diǎn)坐標(biāo)，得出直線MT解析式，過P作PQ∥MT，交拋物線于點(diǎn)Q，求直線PQ解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，可求Q點(diǎn)坐標(biāo)，向下平移直線PQ，可求Q點(diǎn)的另外兩個坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵a、b、c是一個直角三角形的三邊的長，且a＜b＜c，∴c為斜邊，
解方程25x²-35x+12=0，得x₁=

3

5

，x₂=

4

5

，即

a

c

=

3

5

，

b

c

=

4

5

，
∴a：b：c=3：4：5；

（2）過P點(diǎn)作PQ⊥x軸，垂足為Q，由（1）可知b=

4

3

a，c=

5

3

a，
則y=-3x²-（2c-b）x+a²=-3x²-2ax+a²，
∴由二次函數(shù)的性質(zhì)，得P（-

a

3

，

4

3

a²）、M（-a，0）、T（0，a²），
∴S_△MPT=S_△PMQ+S_梯形PQOT-S_△TMO
=

1

2

×（-

a

3

+a）×

4

3

a²+

1

2

×（

4

3

a²+a²）×

a

3

-

1

2

×a×a²=

1

3

a³；

（3）存在．由已知S_△MPT=9，即

1

3

a³=9，解得a=3，∴M（-3，0）、T（0，9），
直線MT解析式為y=3x+9，拋物線解析式為y=-3x²-6x+9，
過P作PQ∥MT，交拋物線于點(diǎn)Q，
設(shè)直線PQ解析式為y=3x+m，將P（-1，12）代入，得y=3x+15，
聯(lián)立

y=3x+15 y=-3x2-6x+9

，解得

x=-1 y=12

或

x=-2 y=9

，∴Q（-2，9），
將直線PQ向下平移12個單位，得y=3x+3，聯(lián)立

y=3x+3 y=-3x2-6x+9

，
解得

x= -3- 17 2 y= -3-3 17 2

或

x= -3+ 17 2 y= -3+3 17 2

，
∴Q（

-3- 17

2

，

-3-3 17

2

）或（

-3+ 17

2

，

-3+3 17

2

），
綜上所述Q（-2，9）或（

-3- 17

2

，

-3-3 17

2

）或（

-3+ 17

2

，

-3+3 17

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求出拋物線解析式，利用割補(bǔ)法求三角形面積，利用平行線求面積相等的三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)．