Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線DE經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E，
（1）當(dāng)直線DE的位置如圖1所示時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．
（2）當(dāng)直線DE的位置如圖2所示時(shí)，求證：DE=AD-BE．

Answer 1

（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．

（2）證明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中
∵，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
分析：（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到答案；
②由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了鄰補(bǔ)角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．