Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣1， ），B（2，0）在拋物線11：y=ax2+bx+1（a，b為常數(shù)，且a≠0）上，直線12經(jīng)過拋物線11的頂點(diǎn)且與y軸垂直，垂足為點(diǎn)D．

（1）求l1的解析式，并寫出它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)l1上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿拋物線從左向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yp也隨之以每秒2個(gè)單位長的速度變化，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），連接OP，以線段OP為直徑作⊙F．
①求yp關(guān)于t的表達(dá)式，并寫出t的取值范圍；
②當(dāng)點(diǎn)P在起點(diǎn)A處時(shí)，直線l2與⊙F的位置關(guān)系是 ， 在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，直線12與⊙F是否始終保持著上述的位置關(guān)系？請說明理由；
（3）在（2）條件下，當(dāng)點(diǎn)P開始從點(diǎn)A出發(fā)，沿拋物線從左到右運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l2同時(shí)向下平移，垂足D的縱坐標(biāo)yD以每秒3個(gè)單位長度速度變化，當(dāng)直線l2與⊙F相交時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)A（﹣1， ），B（2，0）代入拋物線11：y=ax2+bx+1中得：

解得 ，

∴y=﹣ x2+1 則對稱軸為：直線x=0，頂點(diǎn)為（0，1）

（2）相切
（3）

解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，﹣ m2+1），則點(diǎn)F坐標(biāo)（ m，﹣ m2+ ），

∵OP= = m2+1，

∴⊙F的半徑= m2+ ，

∴直線y=﹣ m2+ ﹣（ m2+ ）=﹣ m2與⊙F相切，

∵t＞ 時(shí)，﹣ m2+1=1﹣2（t﹣ ），

∴﹣ m2=﹣2t+ ，

當(dāng)1﹣3t=﹣2t+ 時(shí)直線l2與⊙F相切，解得t= ，

∴當(dāng)0＜t＜ 時(shí)，⊙F與直線l2相交

【解析】解：（2）①由題意1﹣ =2t解得t= ，
∴0≤t 時(shí)，yP= +2t，
t＞ 時(shí)，yP=1﹣2（t﹣ ）= ﹣2t．
②當(dāng)點(diǎn)P在起點(diǎn)A處時(shí)，OA= = ，
∴⊙F的半徑為 ，
∵點(diǎn)F坐標(biāo)（﹣ ， ），
∴點(diǎn)F到直線y=1的距離為 ，
∴點(diǎn)F到直線y=1的距離等于⊙F的半徑，
∴直線l2與⊙F相切，
所以答案是相切．
結(jié)論：在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，直線12與⊙F始終保持相切．
理由：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，﹣ m2+1），則點(diǎn)F坐標(biāo)（ m，﹣ m2+ ），
∵OP= = m2+1，
∴⊙F的半徑= m2+ ，
∵點(diǎn)F到直線y=1的距離為1﹣（﹣ m2+ ）= m2+ ，
∴點(diǎn)F到直線y=1的距離等于⊙F的半徑，
∴在點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，直線12與⊙F始終保持相切．