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(2004•瀘州)如圖,⊙O為△ABC的外接圓,且AB=AC,過點(diǎn)A的直線交⊙O于D,交BC延長線于F,DE是BD的延長線,連接CD.
(1)求證:∠EDF=∠CDF;
(2)求證:AB2=AF•AD;
(3)若BD是⊙O的直徑,且∠EDC=120°,BC=6cm,求AF的長.

【答案】分析:(1)可根據(jù)切割線定理先得出關(guān)于FD,F(xiàn)A,F(xiàn)C,F(xiàn)B的比例關(guān)系,然后得出三角形FDC和FBA相似,因此可得出∠CDF=∠ABC,∠EDF和∠ADB是對頂角,因此只要證得∠ABC=∠ADB相等即可,AB=AC,∠ABC=∠ACB,而∠ACB和∠ADB又對應(yīng)同一段弧,因此也就相等了,至此便可得出本題的結(jié)論;
(2)關(guān)鍵是證△ABD,△ABF相似,已經(jīng)有一個(gè)公共角,根據(jù)(1)中證明的過程我們不難得出∠ABC=∠CDF,得到兩三角形相似后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)比例即可得出所求的結(jié)果;
(3)可根據(jù)(2)的結(jié)果來求AF,關(guān)鍵是求AB,AD的值.如果∠EDC=120°,那么∠EDF=∠ADB=∠ACB=60°,我們得出了△ABC是個(gè)等邊三角形,這樣就求出了AB的長,下面求AD的值,直角三角形ABD中,∠ABD=30°,AB=6,因此根據(jù)三角函數(shù)可求出AD的長,然后根據(jù)(2)的結(jié)果便可求出AF的長.
解答:(1)證明:根據(jù)切割線定理的推論可知:FD•FA=FC•FB
∵∠F=∠F,
∴△FDC∽△FBA,
∴∠CDF=∠ABC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ADB=∠ACB(所對的弧相等)
∴∠ABC=∠ADB=∠EDF,
∴∠EDF=∠CDF;

(2)證明:由(1)已得出∠ADB=∠ABC,
∵∠BAD=∠FAB,
∴△BAD∽△FAB,
∴AD:AB=AB:AF
∴AB2=AF•AD;

(3)解:∵∠EDC=120°,
∴∠EDF=∠CDF=60°,
∴∠ACB=∠ADB=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ABD=30°
Rt△ABD中,AB=6cm,∠ABD=30°,
∴AD=AB•tan30°=2(cm),
由(2)知道:AB2=AF•AD,即6×6=AF×2
∴AF=6(cm).
點(diǎn)評:本題主要考查了切割線定理,相似三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形等知識點(diǎn),通過切割線定理求出三角形相似從而得出角相等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2004年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《二次函數(shù)》(05)(解析版) 題型:解答題

(2004•瀘州)如圖,半徑為6.5的⊙O′經(jīng)過原點(diǎn)O,并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),線段OA、OB(OA>OB)的長分別是方程x2+kx+60=0的兩根.
(1)求A、B兩點(diǎn)的距離;
(2)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)已知點(diǎn)C在劣弧OA上,連接BC交OA于D,當(dāng)OC2=CD•BC時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(4)在⊙O′上是否存在點(diǎn)P,使△ABD的面積等于△POD的面積,即S△ABD=S△POD?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)為(-

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2004年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)試卷B卷(解析版) 題型:解答題

(2004•瀘州)如圖,半徑為6.5的⊙O′經(jīng)過原點(diǎn)O,并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),線段OA、OB(OA>OB)的長分別是方程x2+kx+60=0的兩根.
(1)求A、B兩點(diǎn)的距離;
(2)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)已知點(diǎn)C在劣弧OA上,連接BC交OA于D,當(dāng)OC2=CD•BC時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(4)在⊙O′上是否存在點(diǎn)P,使△ABD的面積等于△POD的面積,即S△ABD=S△POD?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)為(-

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2004年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《圖形的相似》(04)(解析版) 題型:解答題

(2004•瀘州)如圖,⊙O為△ABC的外接圓,且AB=AC,過點(diǎn)A的直線交⊙O于D,交BC延長線于F,DE是BD的延長線,連接CD.
(1)求證:∠EDF=∠CDF;
(2)求證:AB2=AF•AD;
(3)若BD是⊙O的直徑,且∠EDC=120°,BC=6cm,求AF的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2004年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)試卷A卷(解析版) 題型:選擇題

(2004•瀘州)如圖,從邊長為10的正方體的一頂點(diǎn)處挖去一個(gè)邊長為1的小正方體,則剩下圖形的表面積為( )

A.600
B.599
C.598
D.597

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2004年貴州省貴陽市烏當(dāng)區(qū)第二中學(xué)中考題型試卷(解析版) 題型:選擇題

(2004•瀘州)如圖,從邊長為10的正方體的一頂點(diǎn)處挖去一個(gè)邊長為1的小正方體,則剩下圖形的表面積為( )

A.600
B.599
C.598
D.597

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