Question

（2013•蘇州一模）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A，C，D三點(diǎn)，且三點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，0），C（0，5），D（2，5），拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，作平行四邊形DFBG，
（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3，0）

；
（2）是否存在F點(diǎn)，使四邊形DFBG為矩形？如存在，求出F點(diǎn)坐標(biāo)；如不存在，說(shuō)明理由；
（3）連結(jié)FG，F(xiàn)G的長(zhǎng)度是否存在最小值？如存在求出最小值；若不存在說(shuō)明理由；
（4）若E為AB中點(diǎn)，找出拋物線上滿足到E點(diǎn)的距離小于2的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的范圍：

-1＜x＜

5- 91

5

或

5+ 91

5

＜x＜3

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)相等求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可；
（2）連接CD，然后求出△CDF和△OFB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OF，然后寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可；
（3）連接BD，設(shè)FG、BD相交于點(diǎn)H，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得FG=2FH，再求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，再根據(jù)垂線段最短可得FH⊥y軸時(shí)，F(xiàn)H最短，從而求出FH，再求出FG即可；
（4）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再寫(xiě)出以點(diǎn)E為圓心，以2為半徑的圓的解析式，然后消掉x得到關(guān)于y的一元二次方程，求解得到y(tǒng)的值，再代入拋物線解析式求出到點(diǎn)E的距離等于2的橫坐標(biāo)x的值，然后根據(jù)函數(shù)圖象解答．

解答：解：（1）∵C（0，5），D（2，5），
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

2

2

=1，
∵A（-1，0），
∴2×1-（-1）=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；

（2）如圖，連接CD，則∠DCF=90°，
∵四邊形DFBG為矩形，
∴∠DFC+∠OFB=180°-90°=90°，
∵∠OFB+∠OBF=90°，
∴∠DFC=∠OBF，
又∵∠DCF=∠FOB=90°，
∴△CDF∽△OFB，
∴

CD

OF

=

CF

OB

，
∵B（3，0），C（0，5），D（2，5），
∴CD=2，OB=3，OC=5，
∴CF=5-OF，
∴

2

OF

=

5-OF

3

，
整理得，OF²-5OF+6=0，
解得OF=2或OF=3，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，2）或（0，3）；

（3）連接BD，設(shè)FG、BD相交于點(diǎn)H，
∵四邊形DFBG是平行四邊形，
∴FG、BD互相平分，
∴FG=2FH，
又∵B（3，0），D（2，5），
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2.5，2.5），
根據(jù)垂線段最短，F(xiàn)H⊥y軸時(shí)，F(xiàn)H最短，
此時(shí)，F(xiàn)H=2.5，
FG=2FH=2×2.5=5；

（4）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+k（a≠0），
把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入得，

4a+k=0 a+k=5

，
解得

a=- 5 3 k= 20 3

，
∴拋物線解析式為y=-

5

3

（x-1）²+

20

3

，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），
∴以E為圓心，以2為半徑的圓為（x-1）²+y²=4，
與拋物線解析式聯(lián)立消掉（x-1）²得，-

5

3

（4-y²）+

20

3

=y，
整理得，5y²-3y=0，
解得y₁=0，y₂=

3

5

，
y=

3

5

時(shí)，-

5

3

（x-1）²+

20

3

=

3

5

，
整理得，（x-1）²=

91

25

，
解得x₁=

5- 91

5

，x₂=

5+ 91

5

，
∴-1＜x＜

5- 91

5

或

5+ 91

5

＜x＜3時(shí)，拋物線上的點(diǎn)到E點(diǎn)的距離小于2．
故答案為：（1）（3，0）；（4）-1＜x＜

5- 91

5

或

5+ 91

5

＜x＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用圓的解析式求出拋物線到點(diǎn)E的距離等于2的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．