Question

如圖所示，A、B兩村莊位于河流（直線L）的兩側(cè)．
（1）為促進兩村民相互交往，A、B兩村村委會商議，在河上架一座橋，然后各村都修一條通往橋的公路．請問橋架在何處，才能使修路和架橋總造價最低？（要求：在河上標出架橋位置，并寫出所依據(jù)的數(shù)學原理．）
（2）A村決定，把河流L中的水引到村子，以方便村民用水和灌溉農(nóng)田．怎樣修建引水渠，才能使引水渠最短？請你幫助A村畫出飲水線路圖，并寫出所依據(jù)的數(shù)學原理．

Answer 1

分析：（1）雖然A、B兩點在河兩側(cè)，但連接AB的線段不垂直于河岸．關(guān)鍵在于使AP+BD最短，但AP與BD未連起來，要用線段公理就要想辦法使P與D重合起來，利用平行四邊形的特征可以實現(xiàn)這一目的；
（2）根據(jù)從直線外一點到直線上各點所連的線段中垂線段最短，畫出過點A的垂線段即可．

解答：解：（1）如圖，作BB'垂直于河岸L，使BB′等于河寬，
連接AB′，與河岸EF相交于P，作PD⊥L，
則PD∥BB′且PD=BB′，
于是四邊形PDBB′為平行四邊形，故PD=BB′．
根據(jù)“兩點之間線段最短”，AB′最短，即AP+BD最短；

（2）如圖，AM即為所求線段．

點評：（1）考查了軸對稱---最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進行轉(zhuǎn)化，以后還會學習一些線段轉(zhuǎn)化的方法．
（2）考查了從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短在生活中的應用．