如圖,已知二次函數(shù)(m>0)的圖象與x軸交于A、B兩點.
(1)寫出A、B兩點的坐標(坐標用m表示);
(2)若二次函數(shù)圖象的頂點P在以AB為直徑的圓上,求二次函數(shù)的解析式;
(3)設以AB為直徑的⊙M與y軸交于C、D兩點,求CD的長.
解:(1)∵,∴當y=0時,。
解得x1=﹣m,x2=3m。
∵m>0,∴A、B兩點的坐標分別是(﹣m,0),(3m,0)。
(2)∵A(﹣m,0),B(3m,0),m>0,
∴,圓的半徑為AB=2m。
∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m。
∴拋物線的頂點P的坐標為:(m,﹣2m)。
∵二次函數(shù)(m>0)的頂點P的坐標為:(m,﹣4m2),
∴﹣2m=﹣4m2,解得m1=,m2=0(舍去)。
∴二次函數(shù)的解析式為,即。
(3)如圖,連接CM,
在Rt△OCM中,
∵∠COM=90°,CM=2m=2×=1,OM=m=,
∴。
∴CD=2OC=。
【解析】(1)解關于x的一元二次方程,求出x的值,即可得到A、B兩點的坐標。
(2)由二次函數(shù)圖象的頂點P在以AB為直徑的圓上,A、B是拋物線與x軸的交點,根據(jù)拋物線的對稱性及圓的半徑處處相等可知PM是AB的垂直平分線,且MP=MA=MB=AB,得出點P的坐標為(m,﹣2m),又根據(jù)二次函數(shù)的頂點式為(m>0),得出頂點P的坐標為:(m,﹣4m2),則﹣2m=﹣4m2,解方程求出m的值,再把m的值代入,即可求出二次函數(shù)的解析式。
(3)連接CM.根據(jù)(2)中的結論,先在Rt△OCM中,求出CM,OM的長度,利用勾股定理列式求出OC的長,再根據(jù)垂徑定理得出弦CD的長等于OC的2倍。
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