Question

設(shè)a₁＝3²－1²，a₂＝5²－3²，…，a_n＝(2n＋1)²－(2n－1)²(n為大于0的自然數(shù))．

(1)探究a_n是否為8的倍數(shù)，并用文字語(yǔ)言表述你所獲得的結(jié)論；

(2)若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”．試找出a₁，a₂，…，a_n，…這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)，并指出當(dāng)n滿(mǎn)足什么條件時(shí)，a_n為完全平方數(shù)(不必說(shuō)明理由)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵an＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝，　　　　3分 　　又n為非零的自然數(shù)， 　　∴an是8的倍數(shù)．　　　　4分 　　這個(gè)結(jié)論用文字語(yǔ)言表述為：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)．　　　　5分 　　說(shuō)明：第一步用完全平方公式展開(kāi)各1分，正確化簡(jiǎn)1分． 　　(2)這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)為16，64，144，256．　　　　7分 　　n為一個(gè)完全平方數(shù)的2倍時(shí)，an為完全平方數(shù)．　　　　8分 　　說(shuō)明：找完全平方數(shù)時(shí)，錯(cuò)一個(gè)扣1分，錯(cuò)2個(gè)及以上扣2分．