【題目】已知:∠1=∠2,EG平分∠AEC.
(1)如圖①,∠MAE=45°,∠FEG=15°,∠NCE=75°.求證:AB∥CD;
(2)如圖②,∠MAE=140°,∠FEG=30°,當(dāng)∠NCE= °時(shí),AB∥CD;
(3)如圖②,請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠MAE、∠FEG、∠NCE之間滿足什么關(guān)系時(shí),AB∥CD;
(4)如圖③,請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠MAE、∠FEG、∠NCE之間滿足什么關(guān)系時(shí),AB∥CD.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)當(dāng)∠NCE=80°時(shí),AB∥CD;(3)當(dāng)2∠FEG+∠NCE=∠MAE時(shí)AB∥CD;(4)當(dāng)∠MAE+2∠FEG+∠NCE=360°時(shí),AB∥CD.
【解析】
(1)由題意可得AB∥EF,根據(jù)平行線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)可得角的數(shù)量關(guān)系,可求∠FEC=75°,即可求結(jié)論.
(2)由題意可得AB∥EF,根據(jù)平行線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)可得角的數(shù)量關(guān)系,可求∠FEC=100°,再根據(jù)AB∥CD,可求∠NCE的度數(shù)
(3)由題意可得AB∥EF,根據(jù)平行線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)可得角的數(shù)量關(guān)系,可求∠FEC=180°-∠MAE+2∠FEG,再根據(jù)AB∥CD,可求其關(guān)系.
(4)由題意可得AB∥EF,根據(jù)平行線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)可得角的數(shù)量關(guān)系,可求∠FEC=∠MAE+2∠FEG-180°,再根據(jù)AB∥CD,可求其關(guān)系.
證明(1)∵∠1=∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE=∠AEF=45°,且∠FEG=15°
∴∠AEG=60°
∵EG平分∠AEC
∴∠AEG=∠CEG=60°
∴∠CEF=75°
∵∠ECN=75°
∴∠FEC=∠ECN
∴EF∥CD且AB∥EF
∴AB∥CD
(2)∵∠1=∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA=180°且∠MAE=140°
∴∠AEF=40°
∵∠FEG=30°
∴∠AEG=70°
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC=∠AEG=70°
∴∠FEC=100°
∵AB∥CD,AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠NCE+∠FEC=180°
∴∠NCE=80°
∴當(dāng)∠NCE=80°時(shí),AB∥CD
(3)∵∠1=∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA=180°
∴∠FEA=180°﹣∠MAE,
∴∠AEG=∠FEA+∠FEG=180°﹣∠MAE+∠FEG
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC=∠AEG
∴∠FEC=∠GEC+∠FEG=180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG=180°﹣∠MAE+2∠FEG
∵AB∥CD,AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠FEC+∠NCE=180°
∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE=180°
∴2∠FEG+∠NCE=∠MAE
∴當(dāng)2∠FEG+∠NCE=∠MAE時(shí)AB∥CD
(4)∠1=∠2
∴AB∥EF
∴∠MAE+∠FEA=180°
∴∠FEA=180°﹣∠MAE,
∴∠AEG=∠FEG﹣∠FEA=∠FEG﹣180°+∠MAE
∵EG平分∠AEC
∴∠GEC=∠AEG
∴∠FEC=∠FEA+2∠AEG=180°﹣∠MAE+2∠FEG﹣360°+2∠MAE=∠MAE+2∠FEG﹣180°
∵AB∥CD,AB∥EF
∴EF∥CD
∴∠FEC+∠NCE=180°
∴∠MAE+2∠FEG﹣180°+∠NCE=180°
∴∠MAE+2∠FEG+∠NCE=360°
∴當(dāng)∠MAE+2∠FEG+∠NCE=360°時(shí),AB∥CD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、E重合),在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE,AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連接PQ.以下五個(gè)結(jié)論:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.
恒成立的結(jié)論有 .(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等腰三角形,AB=AC,點(diǎn)D是AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E,交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)證明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的長(zhǎng),
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題背景:在△ABC中,AB,BC,AC三邊的長(zhǎng)分別為,,,求此三角形的面積.小輝同學(xué)在解答這道題時(shí),先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),再在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),如圖①所示.這樣不需求△ABC的高,而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.
(1)請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫(xiě)在橫線上:________.
思維拓展:
(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.如果△ABC三邊的長(zhǎng)分別為a,a,a(a>0),請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a)畫(huà)出相應(yīng)的△ABC,并求出它的面積.
探索創(chuàng)新:
(3)若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為,,(m>0,n>0,且m≠n),試運(yùn)用構(gòu)圖法畫(huà)出示意圖并求出這三角形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了解“陽(yáng)光體育”活動(dòng)的開(kāi)展情況,從全校1000名學(xué)生中,隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查(每名學(xué)生只能從A、B、C、D中選擇一項(xiàng)自己喜歡的活動(dòng)項(xiàng)目),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
A:踢毽子 B:乒乓球 C:籃球 D:跳繩
根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)被調(diào)查的學(xué)生共有 人,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求表示區(qū)域D的扇形圓心角的度數(shù);
(3)全校學(xué)生中喜歡籃球的人數(shù)大約是多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B為定點(diǎn),直線l∥AB,P是直線l上一動(dòng)點(diǎn).對(duì)于下列各值:①線段AB的長(zhǎng)②△PAB的周長(zhǎng)③△PAB的面積④∠APB的度數(shù)其中不會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E在邊CD上,將該矩形沿AE折疊,使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處,過(guò)點(diǎn)F作FG∥CD,交AE于點(diǎn)G,連接DG.
(1)求證:四邊形DEFG為菱形;
(2)若CD=8,CF=4,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AC上,BD=DF.
(1)求證:CF=EB.
(2)若AB=12,AF=8,求CF的長(zhǎng)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)為A(1,2),B(﹣1,2),C(﹣1,﹣2),D(1,﹣2).點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)從E點(diǎn)出發(fā),沿四邊形的邊做環(huán)繞勻速運(yùn)動(dòng),M點(diǎn)以1單位/s的速度做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),N點(diǎn)以2單位/s的速度做順時(shí)針運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)M和點(diǎn)N第2016次相遇時(shí)的坐標(biāo)為_____.
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