Question

15．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=2，BC=3，如果邊AB上的點P，使得以P，A，D為頂點的三角形與P，B，C為頂點的三角形相似，這樣的點P有3個．

Answer 1

分析 根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，當若點A，P，D分別與點B，C，P對應(yīng)，與若點A，P，D分別與點B，P，C對應(yīng)，分別分析得出AP的長度即可．

解答 解：若點A，P，D分別與點B，C，P對應(yīng)，即△APD∽△BCP，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴$\frac{2}{8-AP}$=$\frac{AP}{3}$，
∴AP²-8AP+6=0，
∴AP=4±$\sqrt{10}$，
若點A，P，D分別與點B，P，C對應(yīng)，即△APD∽△BPC．
∴$\frac{AP}{BP}$=$\frac{AD}{BC}$，
∴$\frac{AP}{8-AP}$=$\frac{2}{3}$，
∴AP=$\frac{16}{5}$．
因此，點P的位置有三處，即在線段AP的長為4±$\sqrt{10}$、$\frac{16}{5}$．
故答案為：3．

點評 本此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)P點不同位置進行分析，解題時要注意一題多解的情況，要注意別漏解是解題關(guān)鍵．