Question

若x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c 為系數(shù)且為常數(shù)）的兩個(gè)根，則x₁+x₂=-

b

a

、x₁•x₂=

c

a

，這個(gè)定理叫做韋達(dá)定理．如：x₁、x₂是方程x²+2x-1=0的兩個(gè)根，則x₁+x₂=-2、x₁•x₂=-1．
若x₁、x₂是一元兩次方程2x²+mx-2m+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．試求：
（1）x₁+x₂與x₁•x₂的值（用含有m的代數(shù)式表示）．
（2）若x₁²+x₂²=4，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）由x₁、x₂是一元兩次方程2x²+mx-2m+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-

m

2

、x₁•x₂=

1-2m

2

；
（2）由x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=4，即可得方程

m2

4

+2m-1=4，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵x₁、x₂是一元兩次方程2x²+mx-2m+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=-

m

2

、x₁•x₂=

1-2m

2

；

（2）∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（-

m

2

）²-2×

1-2m

2

=4，
即

m2

4

+2m-1=4，
解方程得：m₁=2，m₂=-10，
當(dāng)m=2時(shí)，原方程為：2x²+2x-3=0，△=28＞0，符合題意；
當(dāng)m=-10時(shí)，原方程為：2x²-10x+21=0，△=-68＜0，不符合題意，舍去．
∴m的值為2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式．此題難度較大，注意掌握若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

知識(shí)的應(yīng)用．