Question

【題目】如圖，在△ABC中，高AD和BE交于點H，∠ABC=45°，BE平分∠ABC,下列結論:①∠DAC= 22.5°；②BH= 2CE； ③若連結CH,則CH⊥AB；④若CD=1,則AH=2；其中正確的有( )

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由同角的余角相等易得∠DAC=∠DBH；②由等腰三角形三線合一可得E為AC中點，再證明△ACD≌△BHD，可得BH=AC，即可判斷；③由三角形ABC的三條高交于一點，可知連接CH，則CH⊥AB；④由△ACD≌△BHD得DH=CD=1，HC=，易證HA=HC=，即可判斷.

①∵∠ABC=45°，BE平分∠ABC，

∴∠CBE=22.5°，

∵∠DAC+∠ACB=90°，∠CBE+∠ACB=90°，

∴∠DAC=∠CBE=22.5°，

故①正確；

②∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，

∴AC=2CE

∵AD⊥BC，∠ABC=45°，

∴∠BAD=∠ABC=45°，

∴AD=BD

在△ACD和△BHD中，

∵∠DAC=∠DBH，AD=BD，∠ADC=∠BDH=90°，

∴△ACD≌△BHD（ASA）

∴AC=BH

∴BH=2CE

故②正確；

③∵H為△ABC兩條高的交點，

根據(jù)三角形ABC的三條高交于一點，可知連接CH，則CH⊥AB，

故③正確；

④如圖，連接CH，

∵△ACD≌△BHD

∴DH=CD=1，

∵HD⊥DC，

∴△CDH為等腰直角三角形，

∴HC=，∠HCD=45°，

又∵∠ECB=90°-∠CBE=67.5°，

∴∠HCA=22.5°=∠HAC

∴HA=HC=

故④錯誤.

①②③正確，故選C.