C
分析:根據(jù)同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半,由圓周角∠ACB等于45°得到圓心角∠BOD為90°,進而得到
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=90°,故選項①正確,又OD=OB,所以三角形BOD為等腰直角三角形,由∠A和∠ACB的度數(shù),利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)為75°,由AB與圓切線,根據(jù)切線的性質得到∠OBA為直角,用∠ABO的度數(shù)減去∠ABC的度數(shù)求出∠CBO的度數(shù),由根據(jù)∠BOE為直角,求出∠OEB為75°,根據(jù)內(nèi)錯角相等,得到OD與AB平行,故選項②正確,又三角形OBD為等腰三角形,故∠ODB為45°,又∠ACB為45°,等量代換得到兩個角相等,又∠CBD為公共角,根據(jù)兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形BED與三角形BCD相似,由相似得比例,由BD為OD的
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倍,等量代換即可得到BE等于DE的
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倍,故選項⑤正確,而選項③不一定成立.
解答:
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解:∵圓心角∠BOD與圓周角∠ACB都對
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,且∠ACB=45°,
∴∠BOD=2∠ACB=90°,
∴
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=90°,故選項①正確;
∵∠A=60°,∠ACB=45°,
∴∠ABC=180°-60°-45°=75°,
又∵AB與⊙O相切,
∴OB⊥AB,即∠OBA=90°,
∴∠OBE=∠OBA-∠ABC=90°-75°=15°,又∠BOD=90°,
∴∠OEB=180°-∠BOD-∠OBE=180°-90°-15°=75°,
∴∠ABC=∠OEB,
∴DO∥AB,故選項②正確;
∵D不一定為AC中點,即CD不一定等于AD,
故選項③不一定成立;
∵OB=OD,∠BOD=90°,
∴∠ODB=∠OBD=45°,
∴∠ODB=∠ACB,
又∵∠DBE=∠CBD,
∴△BDE∽△BCD,故選項④正確;
連接OC,∵OD∥AB,
∴∠CDO=∠A=60°,又OC=OD,
∴△CDO為等邊三角形,
∴OC=OD=CD,
∵△BDE∽△BCD,
∴
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,
又∵OBD為等腰直角三角形,
∴BD=
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OD=
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CD,
∴EB=
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DE,即
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=
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,選項⑤正確,
綜上,正確的結論有4個.
故選C
點評:此題考查了相似三角形的判定與性質,圓周角定理,切線的性質,等腰直角三角形的性質以及等邊三角形的性質,熟練掌握性質與定理是解本題的關鍵.