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(2002•益陽)巳知:如圖,在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c.點E是AC邊上的一個動點(點E與點A、C不重合),點F是AB邊上的一個動點(點F與點A、B不重合),連接EF.
(1)當(dāng)a、b滿足a2+b2-16a-12b+100=0,且c是不等式組的最大整數(shù)解時,試說明△ABC的形狀;
(2)在(1)的條件得到滿足的△ABC中,若EF平分△ABC的周長,設(shè)AE=x,y表示△AEF的面積,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(1)的條件得到滿足的△ABC中,是否存在線段EF,將△ABC的周長和面積同時平分?若存在,則求出AE的長;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)把a2+b2-16a-12b+100=0,整理為完全平方形式,得到a、b的值;求出后面的c的值,進而判斷三角形的形狀
(2)E、F平分周長,可得AE+AF的和,想表示出△AEF的面積,需利用三角函數(shù)求出AE邊上的高.
(3)在(2)的條件讓△AEF的面積等于原三角形的面積達一半即可.
解答:解:(1)∵a2+b2-16a-12b+100=0,
∴(a-8)2+(b-6)2=0.
∴a=8,b=6.
,
解得-4≤x<11.
∵c是不等式組的最大整數(shù)解,
∴c=10.
∵a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形.

(2)∵EF平分△ABC的周長,
∴AE+AF=12.
∴AF=12-x.(2<x<6)
∵sinA=0.8,
∴DF=0.8×(12-2x).
∴△AEF的面積=×AE×DF=-0.4x2+4.8x.(2<x<6)

(3)易得△ABC的面積為24,
∴-0.4x2+4.8x=12.
解得 x=6+,或x=6-,
∵2<x<6,
∴x=6-
點評:本題主要應(yīng)用了勾股定理的逆定理判斷出是直角三角形;注意利用三角函數(shù)來求所需線段的長度.
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(2002•益陽)巳知:如圖,在△ABC中,∠B=90°,O是AB上一點,以O(shè)為圓心,OB為半徑的半圓交AB于點E,與AC切于點D.當(dāng)AD2+AE2=5時,AD、AE(AD>AE)是關(guān)于x的方程x2-(m-1)x+m-2=0(m≠0)的兩個根.
(1)求實數(shù)m的值;
(2)證明:CD的長度是無理方程2-x=1的一個根;
(3)以B點為坐標(biāo)原點,分別以AB、BC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,求過A、B、D三點且對稱軸平行于y軸的拋物線的解析式.

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(1)求實數(shù)m的值;
(2)證明:CD的長度是無理方程2-x=1的一個根;
(3)以B點為坐標(biāo)原點,分別以AB、BC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,求過A、B、D三點且對稱軸平行于y軸的拋物線的解析式.

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A.相離
B.外切
C.內(nèi)切
D.相交

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同步練習(xí)冊答案
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