Question

如圖，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁，S₂，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

(1)研究小組猜想：在△ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)(如圖2)，則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？

(2)請(qǐng)你說(shuō)明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

(3)研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)D作直線DF∥CE，交AC于點(diǎn)F，連接EF(如圖3)，則直線EF也是△ABC的黃金分割線．

請(qǐng)你說(shuō)明理由．

(4)如圖4，點(diǎn)E是□ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是□ABCD的黃金分割線．請(qǐng)你畫一條□ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過(guò)□ABCD各邊黃金分割點(diǎn)．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)直線是的黃金分割線．理由如下：

　　設(shè)的邊上的高為．

　　，，，

　　所以，，．　　2分

　　又因?yàn)辄c(diǎn)為邊的黃金分割點(diǎn)，所以有．因此．

　　所以，直線是的黃金分割線．　　4分

　　(2)因?yàn)槿�角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，此時(shí)，即

　　，所以三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線．　　6分

　　(3)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30A2/0197/0025/b0b3cdc970ba402106c694a89bbd2599/C/Image79.gif" width=68 HEIGHT=18>，所以和的公共邊上的高也相等，

　　所以有．　　7分

　　設(shè)直線與交于點(diǎn)．所以．

　　所以

　　，．

　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30A2/0197/0025/b0b3cdc970ba402106c694a89bbd2599/C/Image91.gif" width=105 height=45>，所以．　　9分

　　因此，直線也是的黃金分割線．　　10分

　　(4)畫法不惟一，現(xiàn)提供兩種畫法；　　12分

　　畫法一：如答圖1，取的中點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作一條直線分別交，于，點(diǎn)，則直線就是的黃金分割線．

　　畫法二：如答圖2，在上取一點(diǎn)，連接，再過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則直線就是的黃金分割線．