Question

11．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=$\frac{1}{2}$BC，連結(jié)DE、CF．
（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）若AB=2，AD=6，∠B=45°，求△DCE的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1，證明FD和CE平行且相等，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等，得四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）如圖2，過(guò)A作AG⊥BC于G，先根據(jù)特殊三角形值求出兩平行線的距離AG，也就是△CDE以CE為底邊的高，再由（1）CE=FD中求出CE的長(zhǎng)，利用面積公式求△DCE的面積．

解答 證明：（1）如圖1，在?ABCD中，
∴AD=BC，AD∥BC
∴FD∥CE
∵F是AD的中點(diǎn)，
∴FD=$\frac{1}{2}$AD
∵CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴CE=FD
∴四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）如圖2，過(guò)A作AG⊥BC于G，
∴∠AGB=90°，
∵∠B=45°，AB=2，
∴sin∠B=sin45°=$\frac{AG}{AB}$，
∴$\frac{AG}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AG=$\sqrt{2}$，
∵AD=6，
∴CE=FD=3，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，難度不大；做好本題要熟練掌握平行四邊形的判定方法：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；同時(shí)也要熟知平行四邊形的性質(zhì)．