Question

【題目】若一個整數(shù)能表示成a2＋b2（a、b是正整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”。例如5是“完美數(shù)”，因為5＝22＋12，再如M＝x2＋2xy＋2y2=(x＋y)2 ＋y2（x、y是正整數(shù)），所以M也是“完美數(shù)”。

（1）請你再寫一個小于10的“完美數(shù)”，并判斷29是否為“完美數(shù)”；

（2）試判斷(x2＋9y2)(4y2＋x2)（x、y是正整數(shù)）是否為“完美數(shù)”，并說明理由；

（3）已知S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k（x、y是正整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）小于10的“完美數(shù)”可以為8，29是“完美數(shù)”；（2）是“完美數(shù)”，理由見解析；（3）k=13，理由見解析.

【解析】

(1)利用定義便可求解.

(2)利用乘法公式求出乘積，然后配方將其變化與完美數(shù)進行比較，從而說明理由.

(3)利用配方，將S配成完美數(shù)，便可求解k的值.

解：（1）8=22+22

8是完美數(shù).

29=

29是完美數(shù).

(2) (x2＋9y2)(4y2＋x2)= =

因此也是完美數(shù).

(3) S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k=

因此k-13=0

k=13