Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O(shè) 為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）P是此拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）M（x，y）是此拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MOB的面積等于△OAB面積時(shí)，求M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由已知條件，可知OC=OA==2，∠COA=60°，

C點(diǎn)的坐標(biāo)為（，3），

設(shè)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，

則，解得，

所求拋物線的解析式為y=﹣x²+2x．

（2）由題意，設(shè)P（，y），則：

OP²=y²+3、CP²=（y﹣3）²=y²﹣6y+9、OC²=12；

①當(dāng)OP=CP時(shí)，6y=6，即 y=1；

②當(dāng)OP=OC時(shí)，y²=9，即 y=±3（y=3舍去）；

③當(dāng)CP=OC時(shí)，y²﹣6y﹣3=0，即 y=3±2；

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（，1）或（，﹣3）或（，3﹣2）或（，3+2）；

（3）過(guò)A作AR⊥OB于R，過(guò)O作ON⊥MN于N，MN與y軸交于點(diǎn)D．

∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，

∴OA=2，OB=4，

由三角形面積公式得：4×AR=2×2，

AR=，

∵△MOB的面積等于△OAB面積，

∴在直線OB兩邊，到OB的距離等于的直線有兩條，直線和拋物線的交點(diǎn)就是M點(diǎn)，

∠NOD=∠BOA=30°，ON=，

則OD=2，

求出直線OB的解析式是y=x，

則這兩條直線的解析式是y=x+2，y=x﹣2，

解，，

解得：，，，

此時(shí)，M₁（，3）、M₂（，）．M₃（2，0）．M₄（﹣，﹣）．