Question

如圖，在△ABC中，AD為角平分線，CE⊥AD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)．
求證：EF=（AB-AC）．

Answer 1

證明：如圖，延長(zhǎng)CE交AB于G，
∵AD為角平分線，
∴∠EAG=∠EAC，
∵CE⊥AD，
∴∠AEG=∠AEC=90°，
在△AGE和△ACE中，，
∴△AGE≌△ACE（ASA），
∴AG=AC，CE=GE，
又∵F為BC中點(diǎn)，
∴EF是△BCG的中位線，
∴EF=BG=（AB-AG）=（AB-AC），
即EF=（AB-AC）．
分析：延長(zhǎng)CE交AB于G，利用“角邊角”證明△AGE和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=AC，CE=GE，然后求出EF是△BCG的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半證明即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和EF所在是三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．