Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是直線AB上的一動點（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直線AC于F．

(1)點D在邊AB上時，證明：AB=FA+BD；

(2)點D在AB的延長線或反向延長線上時，(1)中的結(jié)論是否成立？若不成立，請畫出圖形并直接寫出正確結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)見解析.

【解析】

（1）易證∠FBA=∠FCE，結(jié)合條件容易證到△FAB≌△DAC，從而有FA=DA，就可得到AB=AD+BD=FA+BD．
（2）由于點D的位置在變化，因此線段AF、BD、AB之間的大小關(guān)系也會相應(yīng)地發(fā)生變化，只需畫出圖象并借鑒（1）中的證明思路就可解決問題．

(1)如圖1，∵BE⊥CD，即∠BEC=90°，∠BAC=90°，

∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．

∴∠FBA=∠FCE．

∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，

∴∠FAB=∠DAC．

∵AB=AC，

∴△FAB≌△DAC．

∴FA=DA．

∴AB=AD+BD=FA+BD．

(2)如圖2，當D在AB延長線上時，AF=AB+BD，

理由是：同理得：△FAB≌△DAC，

∴AF=AD=AB+BD；

如圖3，當D在AB反向延長線上時，BD=AB+AF，

理由是：同理得：△FAB≌△DAC，

∴AF=AD，

∴BD=AB+AD=AB+AF．