如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以AC為直徑作圓O,與BC交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB,垂足為點(diǎn)D,
(1)求證:DE為⊙O的切線(xiàn);
(2)過(guò)O點(diǎn)作EC的垂線(xiàn),垂足為H,求證:EH•BE=BD•CO.

【答案】分析:(1)連接OE,根據(jù)等邊對(duì)等角,由AB=AC得到∠B=∠C,再由半徑OC與OE相等得到∠C=∠CEO,利用等量代換得到∠B=∠CEO,由同位角相等兩直線(xiàn)平行,得到AB與EO平行,再根據(jù)兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等,由角BDE為直角得到角DEO為直角,又OE為圓O的半徑,根據(jù)切線(xiàn)的判斷方法得到DE為⊙O的切線(xiàn);
(2)根據(jù)垂徑定理,由OH與BC垂直,得到H為EC中點(diǎn)即CH與EH相等,然后由兩對(duì)角相等的兩三角形相似得到△BDE∽△CHO,得到對(duì)應(yīng)邊成比例,把CH換為EH即可得證.
解答:(1)證明:連接OE,∵AB=AC,∴∠B=∠C(1分)
∵OC=OE,∴∠C=∠CEO,(1分)
∴∠B=∠CEO,∴AB∥EO,(1分)
∵DE⊥AB,∴EO⊥DE,(1分)
∵EO是圓O的半徑,
∴D為⊙O的切線(xiàn).(1分)

(2)解:∵OH⊥BC,∴EH=HC,∠OHC=90°(1分)
∵∠B=∠C,∠BDE=∠CHO=90°
∴△BDE∽△CHO(2分),
(1分)
∵EH=HC,
∴EH•BE=BD•CO.(1分)
點(diǎn)評(píng):本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)和判定、垂徑定理及相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用.證明切線(xiàn)的方法有兩種:有連接圓心與這點(diǎn),證明夾角為直角;無(wú)點(diǎn)作垂線(xiàn),證明垂線(xiàn)段長(zhǎng)等于半徑.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

24、已知:如圖,在等腰三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分線(xiàn)BD與AC交于點(diǎn)D,DE⊥BC于點(diǎn)E.求證:AD=CE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•長(zhǎng)春)感知:如圖①,點(diǎn)E在正方形ABCD的邊BC上,BF⊥AE于點(diǎn)F,DG⊥AE于點(diǎn)G,可知△ADG≌△BAF.(不要求證明)
拓展:如圖②,點(diǎn)B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上,點(diǎn)E、F在∠MAN內(nèi)部的射線(xiàn)AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC,求證:△ABE≌△CAF.
應(yīng)用:如圖③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB>BC.點(diǎn)D在邊BC上,CD=2BD,點(diǎn)E、F在線(xiàn)段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為9,則△ABE與△CDF的面積之和為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC=12,BC=8,又BD=3,CE=2.
求證:△ABD∽△BCE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線(xiàn),∠ABC的平分線(xiàn)BG,交AD于點(diǎn)E,EF⊥AB,垂足為F.
①若∠BAD=20°,則∠C=
70°
70°

②求證:EF=ED.
(2)如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分線(xiàn)交AB于E,D為垂足,連接EC.
①求∠ECD的度數(shù);
②若CE=5,求BC長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=40°,線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接BE,則∠CBE等于( �。�

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