Question

已知拋物線y=-

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x²+bx+c的圖象的頂點D（-2，8）．
（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的交點為A、C，與y軸的交點為B，求A、C兩點的坐標(biāo)和△ABC的面積；
（3）H是線段OA上一點，過點H作PH⊥x軸，交拋物線于點P，若直線AB把△PAH分成面積相等的兩部分，求H點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將頂點D（-2，8）直接代入解析式，繼而得出這個拋物線的解析式；
（2）由拋物線解析式可求出點A、C、點B的坐標(biāo)，利用S_△ABC=

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×AC×OB，即可得出答案；
（3）若直線AB分△PAH為面積相等兩部分，則需PH與線段BA的交點是線段PH的中點，設(shè)H（a，0），則Q（a，a+6），P（a，-

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a²-2a+6），根據(jù)QH=

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PH，可得關(guān)于a的方程，解出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

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x²+bx+c的圖象的頂點D（-2，8），
∴拋物線的解析式為：y=-

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（x+2）²+8=-

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x²-2x+6；

（2）∵y=-

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（x+2）²+8，令y=0，
∴0=-

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（x+2）²+8，
解得：x₁=-6，x₂=2，
∴A（-6，0），C（2，0），
令x=0，則y=6，
∴B（0，6），
∴S_△ABC=

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×AC×OB=

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×6×8=24；

（3）將A（-6，0），B（0，6）代入y=kx+b，
則

b=6 -6k+b=0

，
解得：

k=1 b=6

，
∴直線AB的解析式為：y=x+6，
設(shè)AB、PH交于Q，設(shè)H（a，0），
則Q（a，a+6），P（a，-

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a²-2a+6），
若直線AB把△PAH分成面積相等的兩部分，則
S_△AQH=

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2

S_△PAH，
即QH=

1

2

PH，
a+6=

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×（-

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a²-2a+6），
解得：a₁=-2，a₂=-6（舍去），
∴H點坐標(biāo)為：（-2，0）．

點評：此題考查了一元二次方程的解法、二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)意義等基礎(chǔ)知識，難度不大．