如圖,拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸相交于點C,頂點為D.
(1)求出A、B的坐標和△ABC的面積;
(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得△QAC的周長最�。咳舸嬖�,求出Q點的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)連接BC,與拋物線的對稱軸交于點E,點P為線段BC上的一個動點,過點P作PF∥DE交拋物線于點F,
①點P在線段BC上移動的過程中,四邊形PEDF是否能成為平行四邊形?若能,求此時點F的坐標;若不能,請說明理由;
②是否存在一點P,使△BCF的面積最大?若存在,求出點P的坐標及△BCF的面積最大值.若沒有,請說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)拋物線的解析式即可求得A、B、C、D的坐標,以AB為底,OC為高可求出△ABC的面積;
(2)根據(jù)拋物線的解析式,易求得拋物線的對稱軸方程;在△QCA中,AC的長為定值,若△QAC的周長最小,則QC+QA的長度最�。灰阎狝、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,若連接BC,那么Q點必為BC與拋物線對稱軸的交點,可根據(jù)B、C的坐標求出直線BC的解析式,聯(lián)立拋物線的對稱軸方程即可得到Q點的坐標;
(3)根據(jù)直線BC的解析式及拋物線的頂點坐標,即可求得DE的長;可設出F點的橫坐標,然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式分別表示出P、F的縱坐標,進而可求得PF的長;
①若四邊形PEDF是平行四邊形,那么PF與DE平行且相等,已知了PF與DE都平行于y軸,令它們的表達式相等,即可求出此時F點的坐標;
②以PF為底,B點橫坐標的絕對值為高,可求出△FCB的面積表達式,由此可得到關(guān)于△FCB和P點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所對函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可求出S的最大值,及對應的P點坐標.
解答:解:(1)拋物線y=-x2+2x+3中,令y=0,
則有-x2+2x+3=0,
解得x=-1,x=3;
∴A(-1,0),B(3,0);
令x=0,得y=3,
∴C(0,3);
∴S△ABC=AB•OC=×4×3=6;

(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;
∴D(1,4),拋物線的對稱軸為x=1;
由于A、B關(guān)于x=1對稱,連接BC,
則點Q即為直線BC與拋物線對稱軸的交點;
設直線BC的解析式為y=kx+b,則有:

解得;
∴直線BC的解析式為y=-x+3;
當x=1時,y=-1+3=2;
∴Q(1,2);

(3)設F點坐標為(m,-m2+2m+3),則P(m,-m+3);
易知:D(1,4),E(1,2);
∴DE=2,PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m;
①由于PF∥DE,若四邊形PFDE是平行四邊形,則PF=DE,
即:-m2+3m=2,
解得m=1(舍去),m=2;
∴P(2,1);
故四邊形PFDE能夠成為平行四邊形,此時P(2,1);
②設△BFC的面積為S,則有:
S=PF•xB=×(-m2+3m)×3=-(m-2+
∴當m=時,Smax=,此時P(,);
故△BFC的面積存在最大值,此時P點的坐標為P(,).
點評:此題是二次函數(shù)的綜合題,涉及到二次函數(shù)圖象與坐標軸交點及頂點坐標的求法、因此函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)、圖形面積的求法、平行四邊形的判定等重要知識點,綜合性較強,難度偏大.
練習冊系列答案
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26、已知:如圖,拋物線C1,C2關(guān)于x軸對稱;拋物線C1,C3關(guān)于y軸對稱.拋物線C1,C2,C3與x軸相交于A、B、C、D四點;與y相交于E、F兩點;H、G、M分別為拋物線C1,C2,C3的頂點.HN垂直于x軸,垂足為N,且|OE|>|HN|,|AB|≠|(zhì)HG|
(1)A、B、C、D、E、F、G、H、M9個點中,四個點可以連接成一個四邊形,請你用字母寫出下列特殊四邊形:菱形
AHBG
;等腰梯形
HGEF
;平行四邊形
EGFM
;梯形
DMHC
;(每種特殊四邊形只能寫一個,寫錯、多寫記0分)
(2)證明其中任意一個特殊四邊形;
(3)寫出你證明的特殊四邊形的性質(zhì).

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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線交x軸于點A(-2,0),點B(4,0),交y軸于點C(0,4).
(1)求拋物線的解析式,并寫出頂點D的坐標;
(2)若直線y=x交拋物線于M,N兩點,交拋物線的對稱軸于點E,連接BC,EB,EC.試判斷△EBC的形狀,并加以證明;
(3)設P為直線MN上的動點,過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點F.問:在直線MN上是否存在點P,使得以P,E,D,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P及相應的點F的坐標;若不存在,請說明理由.

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如圖,拋物線的頂點坐標為M(1,4),與x軸的一個交點是A(-1,0),與y軸交于點B,直線x=1交x軸于點N.
(1)求拋物線的解析式及點B的坐標;
(2)求經(jīng)過B、M兩點的直線的解析式,并求出此直線與x軸的交點C的坐標;
(3)若點P在拋物線的對稱軸x=1上運動,請你探索:在x軸上方是否存在這樣的P點,使精英家教網(wǎng)以P為圓心的圓經(jīng)過點A,并且與直線BM相切?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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如圖,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A(-3,0),點B(1,0),交y軸于點E(0,-3)精英家教網(wǎng).點C是點A關(guān)于點B的對稱點,點F是線段BC的中點,直線l過點F且與y軸平行.直線y=-x+m過點C,交y軸于D點.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)點K為線段AB上一動點,過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H,與拋物線交于點G,求線段HG長度的最大值;
(3)在直線l上取點M,在拋物線上取點N,使以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,求點N的坐標.

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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸兩交點是A(-1,0),B(3,0),則如圖可知y<0時,x的取值范圍是(  )
A、-1<x<3B、3<x<-1C、x>-1或x<3D、x<-1或x>3

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