如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,DE平分∠ADB,∠BDC=∠BCD.
(1)求證:∠1+∠2=90°;
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(2)若∠ABD的平分線與CD的延長線交于F,且∠F=55°,求∠ABC;
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(3)若H是BC上一動點,F(xiàn)是BA延長線上一點,F(xiàn)H交BD于M,F(xiàn)G平分∠BFH,交DE于N,交BC于G.當H在BC上運動時(不與B點重合),
∠BAD+∠DMH∠DNG
的值是否變化?如果變化,說明理由;如果不變,試求出其值.
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分析:本題考查了等腰三角形的性質、角平分線的性質以及平行線的性質,解決問題的關鍵在于熟悉掌握知識要點,并且善于運用角與角之間的聯(lián)系進行傳遞.
(1)由AD∥BC,DE平分∠ADB,得∠ADC+∠BCD=180,∠BDC=∠BCD,得出∠1+∠2=90°;
(2)由DE平分∠ADB,CD平分∠ABD,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠F=55°,得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB,即∠ABC=70°;
(3)在△BMF中,根據(jù)角之間的關系∠BMF=180°-∠ABD-∠BFH,得∠GND=180°-∠AED-∠BFG,再根據(jù)角之間的關系得∠BAD=∠GND+
1
2
∠BFH
-∠DBC,在綜上得出答案.
解答:(1)證明:AD∥BC,
∠ADC+∠BCD=180,
∵DE平分∠ADB,
∠BDC=∠BCD,
∴∠ADE=∠EDB,
∠BDC=∠BCD,
∵∠ADC+∠BCD=180°,
∴∠EDB+∠BDC=90°,
∠1+∠2=90°.

解:(2)∠FBD+∠BDE=90°-∠F=35°,
∵DE平分∠ADB,BF平分∠ABD,
∴∠ADB+∠ABD=2(∠FBD+∠BDE)=70°,
又∵四邊形ABCD中,AD∥BC,
∴∠DBC=∠ADB,
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB,
即∠ABC=70°;

(3)
∠BAD+∠DMH
∠DNG
的值不變.
證明:在△BMF中,
∠BMF=∠DMH=180°-∠ABD-∠BFH,
又∵∠BAD=180°-(∠ABD+∠ADB),
∠DMH+∠BAD=(180°-∠ABD-∠BFH)+(180°-∠ABD-∠ADB),
=360-∠BFH-2∠ABD-∠ADB,
∠DNG=∠FNE=180°-
1
2
∠BFH-∠AED,
=180°-
1
2
∠BFH-∠ABD-
1
2
∠ADB,
=
1
2
(∠DMH+∠BAD),
∠BAD+∠DMH
∠DNG
=2.
點評:本題考查等腰三角形的性質及三角形內(nèi)角和定理;此題為探索題,比較新穎,實際涉及的知識不多.
練習冊系列答案
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