Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D為BC的中點．
（1）若E、F分別是AB、AC上的點，且AE=CF，求證：△AED≌△CFD；
（2）當點F、E分別從C、A兩點同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿CA、AB運動，到點A、B時停止；設△DEF的面積為y，F(xiàn)點運動的時間為x，求y與x的函數(shù)關系式；
（3）在（2）的條件下，點F、E分別沿CA、AB的延長線繼續(xù)運動，求此時y與x的函數(shù)關系式．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D為BC中點
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°    
∴AD=BD=DC    
∵AE=CF∴△AED≌△CFD（SAS）    

（2）解：依題意有：FC=AE=x，
∵△AED≌△CFD
∴S_{四邊形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=9     
∴
∴；

（3）解：依題意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°    
∴△ADF≌△BDE    
∴S_△ADF=S_△BDE
∴S_△EDF=S_△EAF+S_△ADB
=
∴．
分析：（1）利用等腰直角三角形的性質得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，進而得到AD=BD=DC，為證明△AED≌△CFD提供了重要的條件；
 （2）利用S_{四邊形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=9 即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關系式；
（3）依題意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，從而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面積相等得到S_△ADF=S_△BDE從而得到S_△EDF=S_△EAF+S_△ADB即可確定兩個變量之間的函數(shù)關系式．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質及全等三角形的判定與性質，考查的知識點雖然不是很多但難度較大．