Question

如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，四邊形OBHC為矩形，CH的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)D（5，2），連結(jié)BC、AD.

（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）將△BCH繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90º后再沿軸對(duì)折得到△BEF（點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上，并說明理由；

（3）設(shè)過點(diǎn)E的直線交AB邊于點(diǎn)P，交CD邊于點(diǎn)Q. 問是否存在點(diǎn)P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）C（0，2），；（2）在；（3）（，0）或（，0）

【解析】

試題分析：（1）由CD∥x軸可判斷C，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即可得到C點(diǎn)的坐標(biāo)及n的值；已知拋物線過D點(diǎn)，可將D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出m的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BCH≌△BEF，OC=BF，CH=EF．OC的長(zhǎng)可以通過C點(diǎn)的坐標(biāo)得出，求CH即OB的長(zhǎng)，要先得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，可通過拋物線的解析式來求得．這樣可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式即可判斷出E是否在拋物線上；

（3）可先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)如（a，0）．由于直線PQ過E點(diǎn)，因此可根據(jù)P，E的坐標(biāo)用待定系數(shù)法表示出直線PQ的解析式，進(jìn)而可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．這樣就能表示出BP，AP，CQ，DQ的長(zhǎng)，也就能表示出梯形BPQC和梯形APQD的面積．然后分類進(jìn)行討論：①梯形BPQC的面積：梯形APQD的面積=1：3；②梯形APQD的面積：梯形BPQC的面積=1：3，根據(jù)上述兩種不同的比例關(guān)系式，可求出各自的a的取值，也就能求出不同的P點(diǎn)的坐標(biāo)．綜上所述可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵四邊形OBHC為矩形，

∴CD∥AB， 

又∵D（5，2）

∴C（0，2），OC=2

∴，解得

∴拋物線的解析式為：；

（2）由y = 0，得 

解得x₁=1，x₂=4

∴A（4，0），B（1，0）

∴OA=4，OB=1

由矩形性質(zhì)知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°

由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱性質(zhì)知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，－1）

把x=3代入，得 

∴點(diǎn)E在拋物線上；

（3）存在點(diǎn)P（a，0），延長(zhǎng)EF交CD于點(diǎn)G，易求OF=CG=3，PB=a－1

S_梯形BCGF = 5，S_梯形ADGF = 3，記S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，

下面分兩種情形：

①當(dāng)S₁∶S₂ =1∶3時(shí)，，

此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F（3，0）的左側(cè)，則PF = 3－a，

由△EPF∽△EQG，得，則QG=9－3a，

∴CQ=3－(9－3a) =3a－6

由S₁=2，得，解得；

 ②當(dāng)S₁∶S₂=3∶1時(shí)，,

此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F（3，0）的右側(cè)，則PF = a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，

∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，

由S₁= 6，得，解得.

綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）.

考點(diǎn)：本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)翻折變換、矩形的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)翻折只是圖形的位置有變化，而大小不變，同時(shí)要求學(xué)生具備分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．