Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，1），點B在直線y=1上，點C（2+$\sqrt{10}$，4），點D（2，4），且∠D=∠B，試判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 連接AC，由點C、D的縱坐標相同可得出直線CD的解析式，由點A的坐標以及點B所在的直線即可得出直線AB的解析式，從而得出AB∥CD，進而可得出∠ACD=∠CAB，由此即可證出△ACD≌△CAB（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出AB=CD、AD=CB，再利用兩點間的距離公式即可求出AD=CD，從而得出四邊形ABCD為菱形．

解答 解：四邊形ABCD為菱形，理由如下：
連接AC，如圖所示．
∵點C（2+$\sqrt{10}$，4），點D（2，4），
∴直線CD的解析式為y=4，
∵點A（1，1），點B在直線y=1上，
∴直線AB的解析為y=1，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB．
在△ACD和△CAB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CAB}\\{∠D=∠B}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CAB（AAS），
∴AB=CD，AD=CB．
∵A（1，1），C（2+$\sqrt{10}$，4），D（2，4），
∴AD=$\sqrt{（2-1）^{2}+（4-1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，CD=2+$\sqrt{10}$-2=$\sqrt{10}$，
∴AD=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四邊形ABCD為菱形．

點評 本題考查了坐標與圖形性質(zhì)、菱形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是找出AB=CD且AB∥CD．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，借助于全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊角關系是關鍵．