Question

如圖，在平面直角坐標系中，A（m，0），B（0，n），且m，n滿足

2m-6

+|n-6|=0，P是線段AB上的動點（不與A，B重合），設P點的橫坐標為t，△POB的面積為S．
（1）求S與t的關系式；
（2）當S=

9

2

時，過P作PM⊥AB交△AOB的外角平分線ON于點M，求點M坐標．

Answer 1

分析：（1）過P作PH⊥OB于H，求出mn的值，得出OB、OA的值，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）作MD⊥BO于D，作MC⊥AO于C，連接BM，AM，過O作OH₁⊥AB于H₁，根據(jù)三角形面積求出P為AB中點，證△AMP≌△BMP，推出AM=MB，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MD=MC，證△BMD≌△AMC，推出BD=AC，設M（-a，a ），根據(jù)BO-DO=AO+CO得出6-a=3-（-a），求出即可．

解答：解：（1）∵

2m-6

+|n-6|=0，
∴

2m-6

=0，n-6=0，
∴2m-6=0，n-6=0，
∴m=3，n=6，
∴A（3，0），B（0，6），
過P作PH⊥OB于H，
∴S_△POB=

1

2

OB×PH=

1

2

×6t=3t，
即S=3t．

（2）作MD⊥BO于D，作MC⊥AO于C，連接BM，AM，過O作OH₁⊥AB于H₁，
∵S_△AOB=

1

2

OB×AO=

1

2

AB×OH₁=

1

2

×6×3=9，
S_△POB=

1

2

PB•OH₁=

9

2

，
∴PB=

1

2

AB，
∴P為AB中點，
在△AMP和△BMP中，

MP=MP ∠APM=∠BPM AP=BP

∴△AMP≌△BMP（SAS），
∴AM=MB，
∵MD⊥BO，MC⊥OB，∠BOM=∠COM，
∴MD=MC，
在Rt△BMD和Rt△AMC中，

BM=AM MD=MC

∴△BMD≌△AMC（HL），
∴BD=AC，
設M（-a，a ），
∴BO-DO=AO+CO，
6-a=3-（-a），
∴a=

3

2

，
∴M（-

3

2

，

3

2

）．

點評：本題考查了二次根式，絕對值，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，角平分線性質(zhì)的應用，主要考查學生的推理能力，難度偏大．