Question

【題目】（2017浙江省臺(tái)州市）在平面直角坐標(biāo)系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實(shí)數(shù)根．比如對于方程，操作步驟是：

第一步：根據(jù)方程的系數(shù)特征，確定一對固定點(diǎn)A（0，1），B（5，2）；

第二步：在坐標(biāo)平面中移動(dòng)一個(gè)直角三角板，使一條直角邊恒過點(diǎn)A，另一條直角邊恒過點(diǎn)B；

第三步：在移動(dòng)過程中，當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)落在x軸上點(diǎn)C處時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m即為該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根（如圖1）；

第四步：調(diào)整三角板直角頂點(diǎn)的位置，當(dāng)它落在x軸上另一點(diǎn)D處時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n即為該方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）在圖2中，按照“第四步”的操作方法作出點(diǎn)D（請保留作出點(diǎn)D時(shí)直角三角板兩條直角邊的痕跡）；

（2）結(jié)合圖1，請證明“第三步”操作得到的m就是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根；

（3）上述操作的關(guān)鍵是確定兩個(gè)固定點(diǎn)的位置，若要以此方法找到一元二次方程 （a≠0，≥0）的實(shí)數(shù)根，請你直接寫出一對固定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（4）實(shí)際上，（3）中的固定點(diǎn)有無數(shù)對，一般地，當(dāng)m1，n1，m2，n2與a，b，c之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，點(diǎn)P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一對固定點(diǎn)？

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析；（3）A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等；（4），=．

【解析】試題（1）根據(jù)“第四步”的操作方法作出點(diǎn)D即可；

（2）過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)△AOC∽△CDB，可得，進(jìn)而得出，即，據(jù)此可得m是方程的實(shí)數(shù)根；

（3）方程（a≠0）可化為，模仿研究小組作法可得一對固定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（4）先設(shè)方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)，可得，最后比較系數(shù)可得m1，n1，m2，n2與a，b，c之間的關(guān)系．

試題解析：（1）如圖所示，點(diǎn)D即為所求；

（2）如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，∴，∴，∴m（5﹣m）=2，∴，∴m是方程的實(shí)數(shù)根；

（3）方程（a≠0）可化為，模仿研究小組作法可得：A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等；

（4）如圖，P（m1，n1），Q（m2，n2），設(shè)方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得，上式可化為，又∵，即，∴比較系數(shù)可得，=．