Question

已知：△ABC是等腰三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：

（1）如圖①，若點(diǎn)P在線段AB上，且AC=1+，PA=，則：

①線段PB=　　，PC=　2　；

②猜想：PA²，PB²，PQ²三者之間的數(shù)量關(guān)系為　PA²+PB²=PQ²　；

（2）如圖②，若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你利用圖②給出證明過程；

（3）若動(dòng)點(diǎn)P滿足=，求的值．（提示：請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求）

Answer 1

解答： 解：（1）如圖①：

①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+

∴AB===+，

∵PA=，

∴PB=，

作CD⊥AB于D，則AD=CD=，

∴PD=AD﹣PA=，

在RT△PCD中，PC==2，

故答案為，2；

②如圖1．

∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP²=（AD﹣PD）²=（DC﹣PD）²=DC²﹣2DC•PD+PD²，PB²=（DB+PD）²=（DC+DP）²=CD²+2DC•PD+PD²

∴AP²+BP²=2CD²+2PD²，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC²=DC²+PD²，

∴AP²+BP²=2PC²．

∵△CPQ為等腰直角三角形，

∴2PC²=PQ²．

∴AP²+BP²=PQ²

（2）如圖②：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．

∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP²=（AD+PD）²=（DC+PD）²=CD²+2DC•PD+PD²，PB²=（DP﹣BD）²=（PD﹣DC）²=DC²﹣2DC•PD+PD²，

∴AP²+BP²=2CD²+2PD²，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC²=DC²+PD²，

∴AP²+BP²=2PC²．

∵△CPQ為等腰直角三角形，

∴2PC²=PQ²．

∴AP²+BP²=PQ²．

（3）如圖③：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．

①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P₁處時(shí)．

∵，

∴．

∴．

在Rt△CP₁D中，由勾股定理得：==DC，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，

∴=．

②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P₂處時(shí)．

∵=，

∴．

在Rt△CP₂D中，由勾股定理得：==，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，

∴=．

綜上所述，的比值為或．