Question

（2013•丹東一模）已知：在Rt△ABC，∠ABC=90°，∠C=60°，現(xiàn)將一個足夠大的直角三角板的頂點P放在斜邊AC上．
（1）設(shè)三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC于點M、N．
①當(dāng)點P是AC的中點時，分別作PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F，得到圖1，寫出圖中的一對全等三角形；
②在①的條件下，寫出與△PEM相似的三角形，并直接寫出PN與PM的數(shù)量關(guān)系．
（2）移動點P，使AP=2CP，將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC于點M、N（PM不與邊AB垂直，PN不與邊BC垂直）；或者三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC的延長線與點M、N．
③請在備用圖中畫出圖形，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并選擇其中一種圖形證明你的結(jié)論；
④在③的條件下，當(dāng)△PCN是等腰三角形時，若BC=3cm，則線段BN的長是

1cm或5cm

．

Answer 1

分析：（1）①求出∠AEP=∠B=∠PFC=90°，∠APE=∠C=60°，根據(jù)AAS推出兩三角形全等即可．
②求出AB=

3

BC，求出PE=

1

2

BC，PF=

1

2

AB，推出

PE

PF

=

BC

AB

=

1

3

，求出∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF，∠PEM=∠PFN=90°，根據(jù)相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM，推出

PM

PN

=

PE

PF

=

1

3

，即可得出答案．
（2）③過P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，求出△AEP∽∠PFC，推出

AP

PC

=

PE

PF

=2，設(shè)CF=x，則PE=2x，求出PF=

3

x，證△PEM∽△PFN，推出

PM

PN

=

PE

PF

=

2 3

3

即可．
④求出CP=2cm，分為兩種情況：第一種情況：當(dāng)N在線段BC上時，得出△PCN是等邊三角形，求出CN=CP=2cm，代入BN=BC-CN求出即可；第二種情況：當(dāng)N在線段BC的延長線上時，求出CN=PC=2cm，代入BN=BC+CN求出即可．

解答：（1）解：①△AEP≌△PFC，
理由是：∵P為AC中點，
∴AP=PC，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°，
∴∠AEP=∠B=∠PFC=90°，
∴PF∥AB，PE∥BC，
∴∠APE=∠C=60°，
在△AEP和△PFC中

∠APE=∠C ∠AEP=∠PFC AP=PC

∴△AEP≌△PFC（AAS）．

②△PFN∽△PEM，PN=

3

PM，
理由是：∵在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠C=60°，
∴AB=

3

BC，
∵PE∥BC，PF∥AB，P為AC中點，
∴E為AB中點，F(xiàn)為BC中點，
∴PE=

1

2

BC，PF=

1

2

AB，
∴

PE

PF

=

BC

AB

=

1

3

，
∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°，
∴∠EPF=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF，
∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△PFN∽△PEM，
∴

PM

PN

=

PE

PF

=

1

3

，
∴PN=

3

PM．
（2）③PM=2PN，如圖，
證明：過P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠C，
∴△AEP∽∠PFC，
∴

AP

PC

=

PE

PF

=

2PC

PC

=2，
設(shè)CF=x，則PE=2x，
在Rt△PFC中，∠C=60°，∠PFC=90°，
∴PF=

3

x，
∵在四邊形BFPE中，∠BFP=∠B=∠BEP=90°，
∴∠EPF=90°，
即∠EPM+∠MPF=90°，
∵∠NPF+∠MPF=90°，
∴∠NPF=∠EPM，
∵∠MEP=∠PFN=90°，
∴△PEM∽△PFN，
∴

PM

PN

=

PE

PF

=

2

3

=

2 3

3

，
∴PM=

2 3

3

PN．

④解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，BC=3cm，
∴AC=2BC=6cm，
∵AP=2PC，
∴CP=2cm，
分為兩種情況：第一種情況：當(dāng)N在線段BC上時，如圖
∵△PCN是等腰三角形，∠C=60°，CP=2cm，
∴△PCN是等邊三角形，
∴CN=CP=2cm，
∴BN=BC-CN=3cm-2cm=1cm；
第二種情況：當(dāng)N在線段BC的延長線上時，如圖，
∵∠PCN=180°-60°=120°，
∴要△PCN是等腰三角形，只能PC=CN，
即CN=PC=2cm，
∴BN=BC+CN=3cm+2cm=5cm，
即BN的長是1cm或5cm，
故答案為：1cm或5cm．

點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)和判定，三角形中位線，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強，有一定的難度．用了分類討論思想．