Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－8，0），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（－8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0＜α≤180°）得到四邊形OA′B′C′，此時(shí)直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于P、Q．

（1）四邊形OABC的形狀是               ，         ；

（2）①如圖1，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在y軸正半軸上時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；

②如圖2，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在直線BC上時(shí)，求PQ的長(zhǎng)．

（3）小明在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，總存在線段PQ與線段        相等；同時(shí)存在著特殊情況，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）矩形           （2）①PQ=7.5                             6分

② （3）OP         

【解析】

試題分析：解：（1）∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（-8，6），C（0，6），

∴OA=BC=8，OC=AB=6，∠AOA′=90°，

∴四邊形OABC的形狀是矩形；

當(dāng)α=90°時(shí)，P與C重合，如右圖，

根據(jù)題意，得BP/PQ=4/3，

則BP/BQ=4/7

（2）①如圖1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，

∴△COP∽△A'OB'，

∴CP/A1B=OC/OA1

，即CP/6=6/8

∴CP=4.5

同理△B'CQ∽△B'C'O，CQ/OC=B1C/B1C，即

∴CQ=3，

PQ=CP+CQ=7.5

②如圖2，∵在△OCP和△B'A'P中，

△OCP≌△B'A'P（AAS），

∴OP=B'P，即OP=PQ，

設(shè)PQ=x．

在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，

解得x=25/4

故所求PQ的長(zhǎng)為25/4；

（3）當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，總存在線段PQ與線段OP相等；同時(shí)存在著特殊情況BP=1/2BQ，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（7/4，6）．理由如下：

如備用圖，過點(diǎn)Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，∵S_△POQ=1/2PQ?OC，S_△POQ=1/2OP?QH，

∴PQ=OP．

設(shè)BP=x，

∵BP=1/2BQ，

∴BQ=2x，

∵點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，

∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．

在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，

解得x=25/4．

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對(duì)應(yīng)線段相等，能夠用一個(gè)未知數(shù)表示同一個(gè)直角三角形的未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．