Question

【題目】如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)，，經(jīng)過，兩點(diǎn)的拋物線與軸的負(fù)半軸的另一交點(diǎn)為，且

（1）求該拋物線的解析式及拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，問是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形，與相似，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)；（2）存在，或

【解析】

（1）利用直線解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，從而得到OA、OC，再根據(jù)tan∠CBO=3求出OB，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出AB，判斷出△AOC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC，∠BAC=45°，再根據(jù)點(diǎn)B、D的坐標(biāo)求出∠ABD=45°，然后分①AB和BP是對應(yīng)邊時(shí)，△ABC和△BPA相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BP，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，求出BE、PE，再求出OE的長度，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；②AB和BA是對應(yīng)邊時(shí)，△ABC和△BAP相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BP，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，求出BE、PE，再求出OE的長度，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解：（1）令y=0，則x+3=0，
解得x=-3，
令x=0，則y=3，
∴點(diǎn)A（-3，0），C（0，3），
∴OA=OC=3，
∵tan∠CBO=，
∴OB=1，
∴點(diǎn)B（-1，0），
把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式得，

，解得：，

∴該拋物線的解析式為：，

∵y=x2+4x+3=（x+2）2-1，

∴頂點(diǎn)；

（2）∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=-1-（-3）=2，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=OA=3，∠BAC=45°，
∵B（-1，0），D（-2，-1），
∴∠ABD=45°，
①AB和BP是對應(yīng)邊時(shí)，△ABC∽△BPA，
∴，
即，
解得BP=，
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，

則BE=PE=×=，
∴OE=1+=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，-）；
②AB和BA是對應(yīng)邊時(shí)，△ABC∽△BAP，
∴，
即，
解得BP=，
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，
則BE=PE=×=3，
∴OE=1+3=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，-3）；

綜合上述，當(dāng)或時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似；