Question

【題目】如圖，點P在⊙O的直徑AB的延長線上，PC為⊙O的切線，點C為切點，連接AC，過點A作PC的垂線，點D為垂足，AD交⊙O于點E．

(1)如圖1，求證：∠DAC=∠PAC；

(2)如圖2，點F（與點C位于直徑AB兩側(cè)）在⊙O上，，連接EF，過點F作AD的平行線交PC于點G，求證：FG=DE+DG；

(3)在(2)的條件下，如圖3，若AE=DG，PO=5，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）EF=3．

【解析】

（1）連接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）連接BE交GF于H，連接OH，求出四邊形HGDE是矩形，求出DE=HG，F(xiàn)H=EH，即可得出答案；
（3）設(shè)OC交HE于M，連接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EH∥DG，求出OM=AE，設(shè)OM=a，則HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a，
求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝，tanP=,設(shè)OC=k，則PC=2k，根據(jù)OP=k=5求出k=，根據(jù)勾股定理求出a，即可求出答案．

（1）證明：連接OC，

∵PC為⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∵AD⊥PC，

∴OC∥AD，

∴∠OCA=∠DAC，

∵OC=OA，

∴∠PAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠PAC；

（2）證明：連接BE交GF于H，連接OH，

∵FG∥AD，

∴∠FGD+∠D=180°，

∵∠D=90°，

∴∠FGD=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠BEA=90°，

∴∠BED=90°，

∴∠D=∠HGD=∠BED=90°，

∴四邊形HGDE是矩形，

∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°，

∵，

∴∠HEF=∠FEA=∠BEA==45°，

∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°，

∴∠HEF=∠HFE，

∴FH=EH，

∴FG=FH+GH=DE+DG；

（3）解：設(shè)OC交HE于M，連接OE、OF，

∵EH=HF，OE=OF，HO=HO，

∴△FHO≌△EHO，

∴∠FHO=∠EHO=45°，

∵四邊形GHED是矩形，

∴EH∥DG，

∴∠OMH=∠OCP=90°，

∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°，

∴∠HOM=∠OHM，

∴HM=MO，

∵OM⊥BE，

∴BM=ME，

∴OM=AE，

設(shè)OM=a，則HM=a，AE=2a，AE=DG，DG=3a，

∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°，

∴四邊形GHMC是矩形，

∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a，

∵DG=HE，GC=HM，

∴ME=CD=2a，BM=2a，

在Rt△BOM中，tan∠MBO=，

∵EH∥DP，

∴∠P=∠MBO，

tanP=，

設(shè)OC=k，則PC=2k，

在Rt△POC中，OP=k=5，

解得：k=，OE=OC=，

在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，

a=1，

∴HE=3a=3，

在Rt△HFE中，∠HEF=45°，

∴EF=HE=3．