Question

如圖，將一次函數(shù)y=

3

4

x的圖象上一點(diǎn)A（a，b），沿豎直方向向上移動6個(gè)單位，得到點(diǎn)B，再沿水平方向向右移動8個(gè)單位，得到點(diǎn)C．以AC為直徑作圓E，設(shè)垂直于y軸的直線DT與圓E相切于點(diǎn)D．
（1）求證：點(diǎn)C在一次函數(shù)y=

3

4

x的圖象上；
（2）求三角形ADC的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意知：C點(diǎn)是由A上移6個(gè)單位，再右移8個(gè)單位得出的點(diǎn)，那么根據(jù)A的坐標(biāo)為（a，b），那么C點(diǎn)的坐標(biāo)就是（a+8，b+6），因此可將C的橫坐標(biāo)代入y=

3

4

x中，我們發(fā)現(xiàn)得出的值，同A的橫坐標(biāo)代入后得出的值是相同的．因此C點(diǎn)在直線y=

3

4

x上．
（2）求三角形ADC的面積就要求出高和底，題中我們知道了AB、BC的值，在直接三角形ABC中，用勾股定理就能求出AC的長，下面求出AC邊上的高即可，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，連接ED．DH就是所求的AC邊上的高，ED⊥DT，因?yàn)镈T∥x軸（或者與x軸重合），而AB⊥x軸，那么AB∥DE，∠BAC=∠DEA，這樣我們就能求出直角三角形ABC與直角三角形EDH相似，也就能得出BC、AC、DE、DH的比例關(guān)系，已經(jīng)由了BC，AC，ED的長，那么DH就能求出來了，有了DH，AC那么三角形ACB的面積就可以得出．
（3）連接AF，DE后我們可發(fā)現(xiàn)，AF∥ED，那么就容易證得三角形OAF和OED相似，于是便可得出

AF

ED

=

OF

OD

解答：（1）證明：由題意知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a+8，b+6），
把x=a+8代入y=

3

4

x得，
y=

3

4

（a+8）=

3

4

a+6，
由于點(diǎn)A（a，b）在直線y=

3

4

x上，
則b=

3

4

a，所以y=b+6，
故點(diǎn)C在一次函數(shù)y=

3

4

x的圖象上．

（2）解：不妨設(shè)直線DT與⊙E切于點(diǎn)E下方時(shí)，如圖所示，
過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，連接ED，
∵BC⊥y軸，AB⊥x軸，
∴∠ABC=90°．
∵直線DT是⊙E的切線，
∴DT⊥DE，而DT∥x軸，或與x軸重合．
∵DE∥AB，
∴∠BAC=∠DEA．
∵∠ABC=∠DHE=90°，
∴△ABC∽△EHD．
∵AB=6，BC=8，
∴Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=10，
∴DE=

1

2

AC=5，
∴

HD

BC

=

ED

AC

，
∴DH=

ED•BC

AC

=

5×8

10

=4，
∴S_△ADC=

1

2

×10×4=20（平方單位）．

（3）解：如圖，
當(dāng)點(diǎn)E位于x軸上方時(shí)，延長AB交x軸于F，
∵AF∥ED，
∴△OAF∽△OED，
∴

AF

ED

=

OF

OD

，
設(shè)OF=x，則AF=

3

4

x，OD=x+4，
∴

3x 4

5

=

x

x+4

，
解得，x=

8

3

，
∴y=

3

4

x=

3

4

×

8

3

=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

8

3

，2），
同理可得，當(dāng)點(diǎn)E位于x軸下方時(shí)（如下圖所示），由對稱性可求點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-

32

3

，-8）．
綜上所述，點(diǎn)A的坐標(biāo)為A₁（

8

3

，2）、A₂（-

32

3

，-8）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)與幾何知識的綜合應(yīng)用，題中根據(jù)直角三角形和相似三角形得出線段的長或線段間的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．