Question

如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)）；

（3）有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N從 點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積．

Answer 1

解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x²+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²﹣4x+3；

（2）令y=0，則x²﹣4x+3=0，

解得：x=1或x=3，

∴B（3，0），

∴BC=3，

點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，

①當(dāng)CP=CB時(shí)，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3

∴P₁（0，3+3），P₂（0，3﹣3）；

②當(dāng)PB=PC時(shí)，OP=OB=3，

∴P₃（﹣3，0）；

③當(dāng)BP=BC時(shí)，

∵OC=OB=3

∴此時(shí)P與O重合，

∴P₄（0，0）；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，

∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t²+2t=﹣（t﹣1）²+1，

當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積是1．此時(shí)點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x軸下方2個(gè)單位處．