Question

（2002•南京）已知拋物線y=a（x-t-1）²+t²（a，t是常數(shù)，a≠0，t≠0）的頂點是A，拋物線y=x²-2x+1的頂點是B．
（1）判斷點A是否在拋物線y=x²-2x+1上，為什么？
（2）如果拋物線y=a（x-t-1）²+t²經(jīng)過點B，
①求a的值；
②這條拋物線與x軸的兩個交點和它的頂點A能否構(gòu)成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可將A點的坐標(biāo)代入拋物線y=x²-2x+1中，即可判斷出A點是否在這條拋物線上．
（2）①先根據(jù)拋物線y=x²-2x+1得出B點的坐標(biāo)，然后將B點的坐標(biāo)代入拋物線y=a（x-t-1）²+t²中即可求出a的值．
②可先根據(jù)①得出的拋物線的解析式來求出拋物線與x軸兩交點的坐標(biāo)，然后求出這兩點之間和這兩點與A之間的線段的長度，由于A在這兩交點的垂直平分線上，因此只有一種情況，即A為此等腰三角形的直角頂點，因此可根據(jù)勾股定理求出t的值．
解答：解：（1）由題意可知：A點的坐標(biāo)為（t+1，t²），將A點的坐標(biāo)代入拋物線y=x²-2x+1中可得：（t+1）²-2（t+1）+1=t²+2t+1-2t-2+1=t²；
因此A點在拋物線y=x²-2x+1上．

（2）①由題意可知：B點坐標(biāo)為（1，0）．則有：
0=a（1-t-1）²+t²，即at²+t²=0，因此a=-1．
②根據(jù)①可知：拋物線的解析式為y=-（x-t-1）²+t²；
當(dāng)y=0時，-（x-t-1）²+t²=0，解得x=1或x=2t+1
設(shè)拋物線與x軸的交點為M，N，那么M點的坐標(biāo)為（1，0），N點的坐標(biāo)為（2t+1，0）
因此：AM²=t²+t⁴，AN²=t²+t⁴，MN²=4t²
當(dāng)△AMN是直角三角形時，AM²+AN²=MN²
即（t²+t⁴）×2=4t²
解得t=1或t=-1
因此能構(gòu)成直角三角形，此時t的值為1或-1．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象交點的求法以及直角三角形的判定等知識點．