Question

【題目】如圖，直徑AB、CD相互垂直，P為弧BC上任意一點，連PC、PA、PD、PB，下列結論：①∠APC＝∠DPE；②∠AED＝∠DFA；③；其中正確的是（　�。�

A. ①③B. 只有①C. 只有②D. ①②③

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用垂徑定理，可得，又由圓周角定理，即可證得∠APC=∠DPE；

②由于∠A不一定等于∠D，故∠AED=∠DFA錯誤；

③連AC，AD，BD，將△ACP繞A點順時針旋轉90°，使AC與AD重合（由AB⊥CD知AC=AD）點P旋轉到Q點，可證得△APQ是等腰直角三角形，CP+DP=AP，同理可得BP+AP=DP，繼而可證得結論．

解：∵直徑AB、CD相互垂直，

∴，

∴∠APC＝∠DPE；

故①正確；

∵∠AED＝∠DPE+∠D，∠DFA＝∠APF+∠A，

∵P為上任意一點，

∴∠A不一定等于∠D，

∴∠AED不一定等于∠DFA；

故②錯誤；

連AC，AD，BD，將△ACP繞A點順時針旋轉90°，使AC與AD重合（由AB⊥CD知AC＝AD）點P旋轉到Q點，

∴AQ＝AP，CP＝QD，

∵∠PAQ＝90°，AQ＝AP，

∵∠ADQ+∠ADP＝∠ACP+∠ADP＝180°，

∴P，D，Q三點共線，

∴∠Q＝∠APD＝45°，

∴PQ2＝PA2+AQ2，

∴PQ＝AP，

即CP+DP＝AP，

同理：BP+AP＝DP，

∴．

故③正確．

故選：A．